Roatation berechnen... rot

Question

Hallo, ich möchte die Rotation zu dem folgenden Vektorfeld berechnen und gern Wissen was das Ergebnis bedeutet?

\( \vec{A} \)  = \( \begin{pmatrix} 2xy²\\2x²y\\12xz² \end{pmatrix} \)

ich würde mihc freuen, wenn jeamnd zeigen könnte wie man das berechent....  

Answer 1

Aloha :)

$$\vec\nabla\times\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y\\12xz^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}2xy^2\\2x^2y\\12xz^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-0\\0-12z^2\\4xy-4xy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\-12z^2\\0\end{array}\right)$$Das angegebene Vektorfeld hat Wirbel, die sich rechts herum um die \(y\)-Achse drehen. Die Winkelgeschwindigkeit der Rotation beträgt \(\omega=-6z^2\).

Comments

Vielen Dank, und wie hast du die Wirbelgeschwindigkeit bestimmt?

Einfach immer geteilt durch zwei?

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Die Rotation wird beschrieben durch die Winkelgeschwindigkeit \(\vec\omega\). Dabei ist die Richtung von \(\vec\omega\) die Drehachse und \(\|\vec \omega\|\) die Winkelgeschwindigkeit. Im Abstand \(\vec r\) von der Drehachse gilt für die Geschwindigkeit \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\).

Wenn du jetzt nur das Geschwindigkeitsfeld \(\vec v\) hast (was in deinem Fall dem Feld \(\vec A\) entspricht) und ermittelst davon die Rotation, bekommst du:

$$\operatorname{rot}\vec v=\operatorname{rot}(\vec\omega\times\vec r)=\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\omega_2r_3-\omega_3r_2\\\omega_3r_1-\omega_1r_3\\\omega_1r_2-\omega_2r_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\omega_1-(-\omega_1)\\\omega_2-(-\omega_2)\\\omega_3-(-\omega_3)\end{pmatrix}=2\vec\omega$$