aufgabe signum bestimmen wie geht das

Question

aufgabe signum bestimmen wie geht das

Ich versteh nicht man diese Aufgabe löst.

Gegeben seien die Permutationen $ \sigma_{1}, \sigma_{2} \in S_{2 n} $ und $ \sigma_{3} \in S_{10} $ mit $$ \begin{array}{l} \sigma_{1}:=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & 2 n-1 & 2 n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 2 n & 1 \end{array}\right) \\ \sigma_{2}:=\left(\begin{array}{cccccccc} 1 & 2 & 3 & \dots & & n & n+1 & n+2 & \dots & 2 n \\ 1 & 3 & 5 & \dots & 2 n-1 & 2 & 4 & \dots & 2 n \end{array}\right) \end{array} $$ $$ \sigma_{3}:=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 5 & 4 & 1 & 7 & 10 & 2 & 6 & 9 & 8 \end{array}\right) $$
a) Bestimmen Sie $ \operatorname{sign}\left(\sigma_{1}\right) $ und $ \operatorname{sign}\left(\sigma_{2}\right) $
b) Bestimmen Sie $ \sigma_{3}^{2020} $

Gefragt 8 Mai 2020 von student22071992

1 Antwort

a) sign(σ₁)=-1 denn die Anzahl der Fehlstellungen ist ungerade,

weil nur Fehlstellungen dadurch vorhanden sind,

dass die 1 hinter den 2n-1 anderen Werten steht,

und 2n-1 ist ungerade.

b) Die ersten n Stück, sind die ungeraden in aufsteigender

Reihenfolge, also keine Fehlstellung dabei.

Die 2 steht dann falsch hinter 3,5,...,2n-1 also verursacht
sie n-1 Fehlstellungen.

Die 4 steht dann falsch hinter 5,7,...,2n-1 also verursacht
sie n-2 Fehlstellungen.

etc. bis zur 2n-2 die steht nur falsch hinter der 2n-1

also noch 1 Fehlstellung.

Gibt insgesamt n-1 + n-2 + ….. +1 Fehlstellungen

also n*(n-1) / 2 Fehlstellungen.

==> sign(σ₂) = (-1)^( n*(n-1) /2 )

also +1 für n hat mod 4 den Rest 0 oder 1

und -1 für n hat mod 4 den Rest 2 oder 3.

c) Du rechnest leicht nach, dass σ₃^3 die identische Permutation ist.

Also auch σ₃^3 und σ₃^6 und ... und σ₃^2019 .

Also ist σ₃^2020 = σ₃

Beantwortet 9 Mai 2020 von mathef

aufgabe signum bestimmen wie geht das

1 Antwort

Ähnliche Fragen