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Liebe Community!

Bei folgender Aufgabe stehen wir an: 

Bestimmen Sie \( T_{3}(\cdot ; f, 0) \) der in einer Umgebung des Nullpunktes durch
$$ f(x, y, z):=\int \limits_{\sin z}^{x \mathrm{e}^{y}} \log (2+2 t) \cos t \mathrm{d} t $$
definierten Funktion \( f \). Berechnen Sie weiters \( \partial_{x y^{2}} f(0,0,0) \)

Da wir weder den Integralsinus noch den Integralcosinus in der Vorlesung gemacht haben, sind wir bereits mit dem Integral leicht überfordert. Gibt es irgendeinen Trick, mit dem man sich die Integration zumindest für Teile sparen kann? Den Integralsinus können wir für den 0-Punkt auch als kompakt konvergente Reihen auffassen, bringt uns das weiter? 

Beste Grüße und vielen Dank im Voraus.

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Aloha :)

Das scheint eine schöne Aufgabe zu sein. Ich muss nur gerade schnell ins Fitness-Studio. Wenn die Aufgabe danach noch "frei" ist, setze ich mich direkt ran ;)

Lieber Tschakabumba, ich würde mich (wie immer) sehr über deine Hilfe, Ansätze und Lösungen freuen :).

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Aloha :)

$$\partial_x f=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)\cdot\partial_x(xe^y)=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)e^y$$$$\partial_y f=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)\cdot\partial_y(xe^y)=\log\left(2+2xe^y\right)\cos\left(xe^y\right)xe^y=x\partial_x f$$$$\partial_z f=-\log\left(2+2\sin z\right)\cos\left(\sin z\right)\cdot\partial_z(\sin z)=-\log\left(2+2\sin z\right)\cos^2\left(\sin z\right)$$

$$\partial_{xx} f=\frac{2e^y}{2+2xe^y}\cos\left(xe^y\right)e^y-\log\left(2+2xe^y\right)\sin\left(xe^y\right)e^{2y}$$$$\partial_{xy} f=\partial_x f+x\partial_{xx}f$$$$\partial_{xz} f=0$$$$\partial_{yz}f=0$$$$\partial_{yy}f=x\partial_{yx}f$$$$\partial_{zz}f=-\frac{2\cos z}{2+2\sin z}\cos^2\left(\sin z\right)+2\log\left(2+2\sin z\right)\cos\left(\sin z\right)\sin(\sin z)\cos z$$

Bevor ich jetzt mit den Ableitungen 3-ter Ordnung loslege, wozu ich nicht wirklich Lust habe, bin ich irritiert, dass da steht, man soll \(\partial_{xy^2}f(0,0,0)\) bestimmen. Das müsste ich ja, wenn die Taylor-Reihe bis zur dritten Ordnung gehen soll, sowieso machen. Daher vermute ich, dass ihr die Taylor-Reihe nur bis zur 2-ten Ordnung eintwickeln sollt?!

Kannst du das mal bitte prüfen, denn für die 2-te Ordnung ist der Rechenaufwand erledigt und überschaubar.

Nachtrag:

Da nun geklärt ist, dass das Taylor-Polynom bis zur 2-ten Ordnung zu entwickeln ist, können wir es auch angeben:$$f(0,0,0)=0\quad\text{weil das Integral von \(0\) bis \(0\) geht}$$$$\partial_x f(0,0,0)=\log(2)\quad\;;\quad\partial_y f(0,0,0)=0\quad\;;\quad\partial_z f(0,0,0)=-\log(2)$$$$\partial_{xx} f(0,0,0)=0\quad\quad\quad;\quad \partial_{yy} f(0,0,0)=0\quad;\quad\partial_{zz} f(0,0,0)=-1$$$$\partial_{xy} f(0,0,0)=\log(2)\quad;\quad \partial_{xz} f(0,0,0)=0\quad;\quad\partial_{yz} f(0,0,0)=0$$$$f(x,y,z)\approx0+\log(2)(x-z)+\frac{1}{2}\left(-z^2+\log(2)xy+\log(2)yx\right)$$$$\underline{f(x,y,z)\approx-\frac{z^2}{2}+\log(2)\cdot\left(x-z+xy\right)}$$

Die noch verlangte partielle Ableitung dritter Ordnung lautet:$$\partial_{xy^2}f=\partial_x(\partial_{yy}f)=\partial_x(x\partial_{yx}f)=\partial_x(x(\partial_xf+x\partial_{xx}f))$$$$\phantom{\partial_{xy^2}f}=\partial_xf+x\partial_{xx}f+\partial_{xx}f+\partial_{xx}f+\partial_{x^3}f$$$$\phantom{\partial_{xy^2}f}=\partial_xf+(x+2)\partial_{xx}f+\partial_{x^3}f$$Die Freude am Ausrechnen möchte ich euch jedoch nicht nehmen ;)))

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Lieber Tschakabumba,

wieder mal  Ja das Taylorpolynom wäre wirklich nur bis zum zweiten Grad zu bestimmen gewesen. Der LV-Leiter hat das gerade auf unser Nachfragen bestätigt.

Für die Taylorentwicklung bis zum dritten Grad habe ich mal versucht, das Integral mit PC zu lösen und die Summanden dann einzeln zu entwickeln und dann zu addieren, geht das überhaupt? Anderes bin ich selbstständig nicht mal zu einer Lösung gekommen.

Beste Grüße

Das passt besser. Man könnte die Taylor-Näherung bis zur 3-ten Ordnung durchrechnen, aber allein die noch verlangte partielle Ableitung 3-ter Ordnung ist eine Strafarbeit. Ich habe das Taylor-Polynom bis zur 2-ten Ordnung in meiner Antwort noch ergänzt.

Stefan (aka Tschakabumba)

Lieber Stefan!

nochmals vielen Dank! Die Aufgabe haben wir zur Übung bzw. eigentlich zum Vergnügen gerechnet, daher ist der Fehler bis jetzt keinem/keiner aufgefallen.

Ich werde mich gleich der Ausrechnung der partiellen Ableitung annehmen, ich freue mich wirklich, nun eine Lösung zu dieser Aufgabe zu haben ;).

Du bist uns (mir, und auch meinen KommilitonInnen, darunter der ebenfalls bei MatheLounge aktive SyntaxError aka Matteo) wirklich schon öfter eine wahnsinnige Hilfe gewesen. Die Aufgaben, die wir bei MatheLounge einstellen, sind immer jene, die wir auch mit mehreren Leuten, nicht so einfach gelöst bekommen. Darf ich fragen was du so studierst oder studiert hast, dass du die Aufgaben raushaust wie warme Semmeln? Ich hab anfangs fast so lange für ́s eintippen in LaTex der Fragen gebraucht, wie du für manche Antworten.

Beste Grüße,

Philipp (aka NablaOperator)

Ich habe Physik studiert, das ist aber schon lange her. Auf meinem Abschluss steht noch "Diplom" und die Patente aus meiner Doktorarbeit sind teilweise schon verjährt.

Im Physik-Studium kommt man um Mathe nicht ganz herum. Wir wenigen Physik-Studenten wurden in Mathematiker-Vorlesungen gesetzt, Kurse wie "Mathe für Physiker" gab es nicht. Das war eine sehr glückliche Kombination. Die Exaktheit der Mathematiker und die Anwendung der Mathematik durch die Physiker haben mir geholfen, beides besser zu verstehen.

Mit Latex ist es einfach nur Übungssache. In einem technisch-naturwissenschaftlichen Fach kann man eigentlich keine Arbeit ohne Latex schreiben, obwohl es immer auch einige ganz Tapfere gibt, die das "Word" schaffen.

Stefan

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Hallo

 da f(0,0,0)=0  -obere Grenze = unterer Grenze -muss man ja das Integral nicht ausrechnen, nur ableiten,  nach der Kettenregel,  da braucht es nirgends Integral sin oder so was, für das TP braucht man ja nur die Ableitungen, mitt Kettenregel ist das der Integrand mal Ableitung der entsprechenden Grenze. versucht es mal

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Hab leider bevor ich deine Antwort gelesen habe, die "mühsame" Variante durchgerechnet. Habe am Schluss eine Funktion mit 3 unterschiedlichen Summanden. Darf man die getrennt entwickeln und dann addieren? Probiere es jetzt nochmal mit deinem Vorschlage! Vielen Dank!

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