3 Ecken, Abstand Punkt-Gerade vom Dreieck

Question

Hallo, ich vermute dass ich die Aufgabe mit der Punkt-Geraden Formel lösen kann, ich hänge nur auf dem Schlauch. Muss ich die Gerade selbst aus den drei Punkten erstellen? Dann irritiert es mich das die Gerade doch schief zum Punkt ist? Also Punkt zur Windschiefengerade?  Würde mich freuen wenn mir jemand mit beim Ansatz für die Lösung helfen könnte.

Gegeben sei ein Dreieck mit den Ecken A= (2; 1; −3), B = (1; 4; −2) und C=(1; −3; −3). Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt C und der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks

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es ist erstaunlich, wie Du eine Gerade schief durch drei Punkte ziehen möchtest. Hier zur Kontrolle: der Abstand \(h_c\) von \(C\) zur Geraden durch \(A\) und \(B\) ist  \(h_c = \sqrt 6 \approx 2,45\)

(klick) ;-)

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=punkt(2%7C1%7C-3%20%22A%22)%0Apunkt(1%7C4%7C-2%20%22B%22)%0Apunkt(1%7C-3%7C-3%20%22C%22)%0Adreieck(2%7C1%7C-3%201%7C4%7C-2%201%7C-3%7C-3)%7B8C0%7D%0Agerade(2%7C1%7C-3%201%7C4%7C-2)%7B000%7D%0Apunkt(3%7C-2%7C-4%20%22Fusspunkt%22)%0Astrecke(1%7C-3%7C-3%203%7C-2%7C-4)%7BC00%7D

Answer 1

Für Abstand Punkt-Gerade siehe https://www.abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-punkt-gerade.

Die Geradengleichung ist \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \) +r·\( \begin{pmatrix} -1\\3\\1 \end{pmatrix} \) .

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Herzlichen Dank, jetzt komme ich auf die Formel:

d=|\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \) \(( \begin{pmatrix} 1\\-3\\-3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \))|

_________________________________

                     |\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \) |

Answer 2

Aloha :)

$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-2\\4-1\\-2-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}1-2\\-3-1\\-3-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}$$$$d=\left\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\cdot\frac{\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|^2}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\frac{\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}^2}\right\|$$$$d=\left\|\begin{pmatrix}-1\\-4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\frac{-11}{11}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{6}$$

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Hallo danke für die Mühe :), aber warum komme ich auf \( \sqrt{6} \) :/ sollte man nicht das Kreuzprodukt im Zähler berechnen?

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In der Gleichung \(d = \dots\) muss es heißen $$d = \left| \vec{A\colorbox{#ffff00} C} - \dots \right|$$

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Genau, danke Werner, habe das gerade korrigiert...

Aber ich komme trotzdem nicht auf \(\sqrt6\).

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$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -11$$ \(\vec{AB}\) ist falsch abgeschrieben

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Danke dir!!!

Ich mache heute kleine Schusselfehler, habe schlecht geschlafen ;)

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\( \begin{pmatrix} -1\\3\\1\end{pmatrix} \)×(\(\begin{pmatrix} 1\\-3\\-3 \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \) )

________________________________

                    \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \)

=> \( \begin{pmatrix} -1\\3\\1 \end{pmatrix} \)×\( \begin{pmatrix} -1\\-4\\0\end{pmatrix} \)  ________________________

               \( \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \)

=> \( \frac{4^{2}+(-1)^{2}+7^{2}}{(-1)^{2}+3^{2}+1^{2}} \)

=> \( \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{11}} \) ≈ 2,4495

Habe ich das jetzt falsch berechnet?

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Habe ich das jetzt falsch berechnet?

Du kannst nicht einfach durch den Vektor \(A\) teilen - das macht keinen Sinn. Und wie Du auf den Bruch kommst, ist mir schleiherhaft. Es gilt - zum Beispiel:$$\begin{pmatrix}-1\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 0\end{pmatrix} = (-1)\cdot (-1) + 3 \cdot (-4) + 1 \cdot 0 \\ \quad = 1 - 12 + 0 = 11$$

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Das ist die Formel für Abstand Punkt-Gerade. Da wird durch den a vektor geteilt.

d=|a×(p-b)|\|a|

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Was du da ausrechnen möchtest, ist die Projektion von \(\overrightarrow{AC}\) auf \(\overrightarrow{AB}\). Das ist auch richtig so. Wenn du diese Projektion anschließend noch von \(\overrightarrow{AC}\) subtrahierst (s. Antwort), erhältst du den Anteil von \(\overrightarrow{AC}\), der auf \(\overrightarrow{AB}\) senkrecht steht.

Bei der Projektion musst du durch das Qadrat des Betrages von dem Vektor dividieren, auf den du projezierst. Mal einfacher aufgeschrieben, \(\vec a\) soll auf \(\vec b\) projeziert werden:$$\vec a_\parallel=\frac{(\vec a\cdot\vec b)}{\left\|\vec b\right\|^2}\cdot\vec b$$

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Danke Dir/Euch, ich rechne es gleich nochmal aus.