Konvergenzradius von Potenzreihe bestimmen in Abgängigkeit von k>=1

Question

:)

Ich darf in einer Aufgabe den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n·k^n ·x^n} \) in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl k>=1 bestimmen.

Meine Idee dazu wäre folgende:

a_n = n*kⁿ

a_n+1 = (n+1)*kⁿ⁺¹  = kⁿ * k * (n+1)

Mit dem Quotientenkriterium:

 \( \lim\limits_{n\to\infty}  | \frac{k^n  *  k  *  (n+1)}{n * k^n} | \)

=  \( \lim\limits_{n\to\infty}  | \frac{ k*n + k }{n} | \) =  \( \lim\limits_{n\to\infty}  | 2k | \)

Also beträgt der Konvergenzradius |\( \frac{1}{2k} \) |

Nun würde ich \( \frac{1}{2k} \) bzw. \( - \frac{1}{2k} \) einsetzen um die grenzen abzuprüfen.

Ist mein Vorgehen soweit richtig? Falls nein, was muss ich machen?

Dann hat die Aufgabe noch einen Teil b):

Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ , für welche die folgende Potenzreihe konvergiert:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n^2 * 3^n * (x-1) ^n} \) .

Hat dazu jemand eine Idee?

Vielen Dank!!

Answer 1

Das Vorgehen ist im Prinzip richtig, das Ergebnis ist aber falsch.  Denke noch mal über den RICHTIGEN Wert von \(\lim\limits_{n\to\infty}  | \frac{ k*n + k }{n} |\) nach.

Und warum fragst du nach b)?

Selbstverständlich auch QK!

Comments

@abakus ahhhh ich hab ne Idee: (k*n+k)/n = k*(1+1/n) -INF-> k

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und die b) bekomm ich einfach nicht hin, ich habs schon mit dem QK versucht :/

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ich habs schon mit dem QK versucht :/

Zeigen!

Du hast es dir bei a) übrigens selbst unnötig schwer gemacht, indem du k(n+1) sinnloserweise ausmultipliziert hast.

Der Grenzwert von \( \frac{n+1}{n} \) ist dir bekannt?

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@abakus okay aber das das abzutippen braucht ne weile..

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Tu es nicht! Lies erst die Ergänzung meines Kommentars!