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Ich darf in einer Aufgabe den Konvergenzradius der Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n·k^n ·x^n} \) in Abhängigkeit von der natürlichen Zahl k>=1 bestimmen.
Meine Idee dazu wäre folgende:
an = n*kn
an+1 = (n+1)*kn+1 = kn * k * (n+1)
Mit dem Quotientenkriterium:
\( \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{k^n * k * (n+1)}{n * k^n} | \)
= \( \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{ k*n + k }{n} | \) = \( \lim\limits_{n\to\infty} | 2k | \)
Also beträgt der Konvergenzradius |\( \frac{1}{2k} \) |
Nun würde ich \( \frac{1}{2k} \) bzw. \( - \frac{1}{2k} \) einsetzen um die grenzen abzuprüfen.
Ist mein Vorgehen soweit richtig? Falls nein, was muss ich machen?
Dann hat die Aufgabe noch einen Teil b):
Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ , für welche die folgende Potenzreihe konvergiert:
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n^2 * 3^n * (x-1) ^n} \) .
Hat dazu jemand eine Idee?
Vielen Dank!!
