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Ich brauche ganz Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Man berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) ak= ((k!)2(1+ 1/k)k^2 / (2k)!

b) ak= ((-1)k) / (4k2-1)

Mit dem Qu0tienten- bzw. wurzelkriterium komm ich nicht wirklich klar.

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zu a)

Wenn Fakultäten auftreten, dann hilft oft die "Quotientenformel", diese zu beseitigen:

$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{  } \left| \frac { \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! }  }{ \frac { { ((k+1)!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }{ (2(k+1))! }  }  \right| $$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{  } \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! } \frac { (2(k+1))! }{ { ((k+1)!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{  } \frac { { (k!) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } } }{ (2k)! } *\frac { (2k)!(2k+1)(2k+2) }{ { { (k!) }^{ 2 }(k+1) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{  } { (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ { k }^{ 2 } }*\frac { (2k+1)*2*(k+1) }{ { (k+1) }^{ 2 }{ (1+\frac { 1 }{ k+1 } ) }^{ { (k+1) }^{ 2 } } }$$

Vielleicht hilft dir das schon etwas weiter ...?

zu b) Hier scheint mir die Formel von Cauchy-Hadamard ("Wurzelformel") aussichtsreich zu sein ...
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