Konvergenz/Häufungspunkte von Folgen

Question

a) Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen.

(i) $a_{n}=\frac{5+(-1)^{n}+\frac{1}{n} \sin n}{n^{2}}$

(ii) $b_{n}=\frac{n}{n^{2}+1} \cdot \frac{5 \sin (2 n)-2 \sin (3 n)}{6+\cos (4 n)-\cos (5 n)}$

b) Geben Sie die Menge $M$ aller Häufungspunkte (inkl. uneigentlicher Häufungspunkte) sowie Limes Superior und Limes Inferior an

(i) $a_{n}=\left((-1)^{n}+1\right) n$

(ii) $a_{n}=\sin \left(\frac{\pi n}{2}\right)+\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)$

(iii) $a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}-n, & \text { falls } n \leq 17 \\ n, & \text { falls } n>17\end{array}\right.$

(iv) $a_{n}=q^{n},$ wobei $q \in \mathbb{R}$ beliebig

Comments

Welche von diese vielen Aufgaben kannst du nicht durch eigene Tätigkeit lösen?

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Ich denke, ich habe dir eine angemessene Zeit gelassen, um auf

Welche von diese vielen Aufgaben kannst du nicht durch eigene Tätigkeit lösen?

zu reagieren. Jetzt brauchst du nicht mehr zu reagieren.

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Meine Nachricht wurde nicht abgeschickt, ich antwortete:
"Es wäre nett wenn man mir bei jeder helfen würde, da ich sonst welche weggelassen hätte,

wenn ich diese verstanden hätte"

MfG GruenerRabe

& Entschuldigung für die Verzögerung

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Offensichtlich bist du vor lauter ich-kann-das-nicht-Jammerei nicht mal auf die Idee gekommen, in Teilaufgabe b) die ersten Folgenglieder einfach "von Hand" zu berechnen.

Answer 1

a) (i)

1/n → 0.

sin(n) ist beschränkt.

Deshalb 1/n·sin(n) → 0.

Insbesondere ist dann auch 1/n·sin(n) beschränkt.

(-1)ⁿ ist beschränkt.

5 ist beschränkt.

Also ist 5 + (-1)ⁿ + 1/n·sin(n) beschränkt.

n² → ∞.

Also a_n → 0.