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Aufgabe:

Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion

 f(x,y) = x3 x^{3} - 32 \sqrt{2} y  über dem Teil der Hyperbel

x2 x^{2} y2 y^{2} =1 , für den x ≥ 1 gilt.


Ansatz:
Hier komme ich gar nicht voran.
Verstehe nicht wie ich hier überhaupt anfangen soll.

Wäre für einen kompletten Lösungsweg dankbar.

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Aloha :)

Die stationären Punkte sind die kritischen Punkte, bei denen Extremwerte vorliegen können. Da wir hier eine Nebenbedingung haben, bietet sich der Lagrange-Formalismus zur Lösung an.L(x,y,λ)=x318y+λ(x2y21);x1L(x,y,\lambda)=x^3-\sqrt{18}y+\lambda\left(x^2-y^2-1\right)\quad;\quad x\ge10=!Lx=3x2+2λx2λ=3x0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x}=3x^2+2\lambda x\quad\Rightarrow\quad2\lambda=-3x0=!Ly=182λ=3xy=18+3xy        3xy=18        y=2x0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial y}=-\sqrt{18}-\underbrace{2\lambda}_{=-3x}\cdot y=-\sqrt{18}+3xy\;\;\Rightarrow\;\;3xy=\sqrt{18}\;\;\Rightarrow\;\;y=\frac{\sqrt2}{x}0=!Lλ=x2y21=x2(2x)21=x22x210\stackrel{!}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2-y^2-1=x^2-\left(\frac{\sqrt2}{x}\right)^2-1=x^2-\frac{2}{x^2}-1Die letzte Gleichung können wir nach xx auflösen:x22x21=0x4x22=0(x22)(x2+1)=0x^2-\frac{2}{x^2}-1=0\quad\Leftrightarrow\quad x^4-x^2-2=0\quad\Leftrightarrow\quad(x^2-2)(x^2+1)=0Wegen x1x\ge1 kommt nur die Lösung x=2x=\sqrt2 in Betracht. Der stationäre Punkt ist:S(21)\boxed{S(\sqrt2|1)}

Avatar von 153 k 🚀

Danke, das war sehr Hilfreich.

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