Exponentialgleichung: (-8e^(-x) +6)×(x^(5)-16x^(3)) = 0

Question

Wie löse ich diese Exponentialgleichung:

(-8e^(-x) +6) × (x^(5)-16x^(3)) = 0

Problem/Ansatz:

Ich habe ausmultipliziert und dann ausgeklammert, allerdings geht es bei mir nicht auf.

Comments

Was denkst du denn, wann ein Produkt Null wird?

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Wenn man es mit 0 multipliziert?

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Wenn mindestens einer der Faktoren Null ist!

Answer 1

(- 8·e^(-x) + 6)·(x^5 - 16·x^3) = 0

Satz vom Nullprodukt

- 8·e^(-x) + 6 = 0
x = -LN(6/8)

x^5 - 16·x^3 = 0
x^3·(x^2 - 16) = 0
x = 0 oder x = ±4

Answer 2

Aloha :)

$$\left(-8e^{-x}+6\right)\cdot\left(x^5-16x^3\right)=0$$ $$\left(-8e^{-x}+6\right)\cdot x^3\cdot\left(x^2-16\right)=0$$$$\left(-8e^{-x}+6\right)\cdot x^3\cdot(x-4)\cdot(x+4)=0$$$$-8\left(e^{-x}-\frac{3}{4}\right)\cdot x^3\cdot(x-4)\cdot(x+4)=0$$Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Wert gleich Null, wenn einer seinere Faktoren gleich Null ist. Die erste Klammer wir Null, falls:$$e^{-x}=\frac{3}{4}\quad\Leftrightarrow\quad-x=\ln\left(\frac{3}{4}\right)\quad\Leftrightarrow\quad x=-\ln\left(\frac{3}{4}\right)\approx0,287682$$Die anderen Nullstellen kann man leicht ablesen: \(x=0\;;\;x=4\;;\;x=-4\). Die Funktion hat also 4 Nullstellen.

~plot~ (-8*exp(-x)+6)*(x^5-16x^3) ; [[-5|5|-45000|10]] ~plot~

~plot~ (-8*exp(-x)+6)*(x^5-16x^3) ; [[-0,2|0,4|-0,1|0,1]] ~plot~