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Hallo, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen und mir einen Lösungsweg aufzeigen?!...


Sei K K ein Körper und seien V1,V2,W1,W2 V_{1}, V_{2}, W_{1}, W_{2} Vektorräume über K. K . Es gelte V1V2 V_{1} \cong V_{2} und W1W2 W_{1} \cong W_{2} Zeigen Sie, dass auch Hom (V1,W1)Hom(V2,W2) \left(V_{1}, W_{1}\right) \cong \operatorname{Hom}\left(V_{2}, W_{2}\right) gilt. 


Vielen Dank im Voraus!

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Was müsste ich dann noch zeigen?

, dass H wirklich ein Isomorphismus ist.

Könnten Sie mir einen Ansatz dazu geben?

Mit den Vorbemerkungen über f und g wie angegeben, musst

du z.B. zeigen:

Seien h und k aus Hom(V1,W1) , dann

gilt H( h+k ) = H(h) + H(k)  (Additivität)

Da die Gleichheit zweier Abbildungen ( beide von V2 nach W2)

zu zeigen ist, muss man für alle v∈ V2 zeigen, dass

H( h+k )(v)  = (H(h) + H(k))(v) gilt . Sei also v ∈ V2 :

H( h+k )(v)  (Def. von H )

= (go(h+k)of^(-1)) ( v)

= g( (h+k) ( f^(-1)( v) )   Def. von +

= g ( h ( f^(-1)( v) ) + k ( f^(-1)( v) ) )  Da g ein Hom.

= g ( h ( f^(-1)( v) )) + g( k ( f^(-1)( v) ) ) Def. von H

= H(h)(v) + H(k)(v)   Def. von +

= ( H(h) + H(k) ) (v) .

So ähnlich Homogenität beweisen und

dann noch Bijektivität.

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