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Aufgabe:

"Betrachte den Graphen der Funktion f(x,y)=1/4(x2+y2). Sei E die Ebene, welche durch E:={(x,y,z) Element R3:x=2} gegeben ist."

a) Bestimmen Sie die Funktion fE, deren Graph dem Schnitt von f mit der Ebene E entspricht


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich den Schnitt von f und E bestimmen soll, jedoch habe ich Schwierigkeiten bei der Vorstellung von f(x,y). Ich denke es könnte sich um einen Kreis oder eine Art "Schale" handeln. Jedoch verstehe ich das x=2 bei der Ebene nicht. Wenn die Ebene erst dort beginnt, würde doch kein Schnittpunkt existieren oder?

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Aloha :)

Die Funktion f(x,y)=14(x2+y2f(x,y)=\frac{1}{4}(x^2+y^2) schneidet die Ebene x=2x=2 in der folgenden Funktion:fE(y)=f(2,y)=14(22+y2)=1+y24f_E(y)=f(2,y)=\frac{1}{4}(2^2+y^2)=1+\frac{y^2}{4}Sie hängt nur von yy ab, weil x=2x=2 ja durch die Ebene vorgegeben ist.

Avatar von 153 k 🚀

Danke, das habe ich auch schon versucht aber gibt mir diese Funktion dann tatsächlich den Schnitt an?

Streng genommen befindest du dich in 3 Dimensionen. Die Originalfunktion ist:(xyz)(xy14(x2+y2))\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x\\y\\\frac{1}{4}(x^2+y^2)\end{pmatrix}Die z-Koordinate ist der Funktionswert f(x,y)f(x,y), was du dir etwa als Höhe in einem Gebirge vorstellen kannst. Speziell auf der Schnittebene x=2x=2 haben wir dann:(xyz)(2y1+y2/4)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}2\\y\\1+y^2/4\end{pmatrix}Wenn man hier nur die z-Koordinate angibt, geht die Information verloren, dass x=2x=2 festgehalten ist. Ich weiß nicht, welche Notation ihr eingeführt habt. Möglich wäre z.B. auch:fx=2(x,y)=1+y24f_{x=2}(x,y)=1+\frac{y^2}{4}fE(x=2,y)=1+y24f_E(x=2,y)=1+\frac{y^2}{4}z=1+y24;x=2z=1+\frac{y^2}{4}\quad;\quad x=2

Vielen lieben Dank:)

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