Der Rang bei Komposition!

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M (l × m,K)  und  B ∈ M(m × n,K).  Zeigen Sie, dass dann

rang(A) + rang(B) − m ≤ rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B)} gilt.

(Betrachtung der Matrizen als Lineare Abbildung und Verwendung der Dimensionsformel für  A:= A|Bild(B).)

Answer 1

Verwende den Tipp:  Zu den Matrizen a und B gehören die linearen

Abbildungen f_A : ℝ^m → ℝ^l   und f_B : ℝ^n → ℝ^m

Und zu A*B gehört die  Verkettung f_A o f_B also f_A nach f_B ,

das sieht dann so aus

                           f_B                       f_A
              ℝ^n       →        ℝ^m       →       ℝ^l

Nun kann ja f_A nur angewendet werden auf Elemente von Bild(B),

daher der Tipp mit der Einschränkung auf Bild(B). Also sieht es so aus:

                           f_B                          f_A|B
              ℝ^n       →        Bild(B)        →       ℝ^l  

Die Dimension von Bild(B) ist ja rang(B) und somit lautet die

Dimensionsformel für den 2. Teil

               rang(f_A|B)  =   dim ( Bild(B)) - dim ( Kern ( f_A|B)

                                 =    rang(B) - dim ( Kern ( fA|B)   ≤  rang(B)

Andererseits ist aber  rang( f_A|B )   = dim (Bild(f_A|B) = rang (A*B) .

Andererseits ist natürlich  rang( f_A|B ) ≤  rang(A) weil die eingeschränkte

Abbildung als Bild nur eine Teilmenge des Bildes der gesamten Abbildung ist.

Damit hat man schon mal   rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B)} .