Gegeben sei eine Matrix \( A \in M(n \times n, \mathbb{R}) . \)
Berechnen Sie alle möglichen Eigenwerte von \( A \), wenna) \( A^{2}=0 \) gilt.b) \( A^{2}=I_{n} \) gilt.c) \( A^{2}=A \) gilt, also \( A \) ein Projektor ist.
Zu (a)
Wenn \( v \ne 0 \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda \) ist, dann gilt $$ A^2 v = A (Av) = \lambda A v = \lambda^2 v = 0 $$ D.h. was?
Zu (b)
$$ A^2v = \lambda^2v = v $$ Was bedeutet das für \( \lambda \)?
Zu (c)
$$ A^2v = \lambda^2 v = \lambda v $$ Und was bedeutet das?
a) d.h. A^k v = λ^k v
b) d.h. λ^2= 1 -> λ= -1,1
c) d.h. A^2 v=A(λv)=λ(Av)=λ(λv)=λ^2 v=λv
ist das korrekt?
Welche Werte kommen denn bei (a) raus?
(b) ist ok.
Und bei (c) welche Werte kommen denn für \( \lambda \) raus
a) Da v ungleich 0 ist, muss λ^2 = λ gelten. Daraus folgt also, dass λ= 0 oder λ= 1gelten muss
c) λ kleiner oder größer als 0 ?
Bei (a) hatte ich geschrieben \( A^2 v = \lambda^2 v = 0 \) also \( \lambda = 0 \)
Und bei (c) steht \( \lambda^2 v = \lambda v \) also \( \lambda ( \lambda - 1 ) = 0 \) also \( \lambda = 1 \) oder \( \lambda = 0 \)
könntest du eventuell auch dort reinschauen? https://www.mathelounge.de/729213/wie-zeige-ich-dass-der-eigenwert-gilt
Kannst du mir erklären, wieso das bei c) so ist?
$$ \lambda^2 v = \lambda v $$ also $$ \lambda (\lambda - 1 ) v = 0 $$ weil \( v \ne 0 \) folgt \( \lambda ( \lambda - 1 ) = 0 \) also \( \lambda = 0 \) oder \( \lambda = 1 \)
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