Alle mögliche Eigenwerte berechnen

Question

Gegeben sei eine Matrix $A \in M(n \times n, \mathbb{R}) .$

Berechnen Sie alle möglichen Eigenwerte von $A$, wenn
a) $A^{2}=0$ gilt.
b) $A^{2}=I_{n}$ gilt.
c) $A^{2}=A$ gilt, also $A$ ein Projektor ist.

Answer 1

Zu (a)

Wenn $v \ne 0$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ ist, dann gilt $$A^2 v = A (Av) = \lambda A v = \lambda^2 v = 0$$ D.h. was?

Zu (b)

$$A^2v = \lambda^2v = v$$ Was bedeutet das für $\lambda$?

Zu (c)

$$A^2v = \lambda^2 v = \lambda v$$ Und was bedeutet das?

Comments

a) d.h. A^k v = λ^k v

b) d.h. λ²= 1 -> λ= -1,1

c) d.h. A² v=A(λv)=λ(Av)=λ(λv)=λ² v=λv

ist das korrekt?

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Welche Werte kommen denn bei (a) raus?

(b) ist ok.

Und bei (c) welche Werte kommen denn für $\lambda$ raus

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a) Da v ungleich 0 ist, muss λ² = λ gelten. Daraus folgt also, dass λ= 0 oder λ= 1gelten muss

c) λ kleiner oder größer als 0 ?

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Bei (a) hatte ich geschrieben $A^2 v = \lambda^2 v = 0$ also $\lambda = 0$

Und bei (c) steht $\lambda^2 v = \lambda v$ also $\lambda ( \lambda - 1 ) = 0$ also $\lambda = 1$ oder $\lambda = 0$

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könntest du eventuell auch dort reinschauen? https://www.mathelounge.de/729213/wie-zeige-ich-dass-der-eigenwert-g…

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Kannst du mir erklären, wieso das bei c) so ist?

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$$\lambda^2 v = \lambda v$$ also $$\lambda (\lambda - 1 ) v = 0$$ weil $v \ne 0$ folgt $\lambda ( \lambda - 1 ) = 0$ also $\lambda = 0$ oder $\lambda = 1$