Grenzwert von Folgen Betragszeichen aufgelöst

Question

Es geht um die Grenzwertberechnung von Folgen.

Dabei soll gelten: \( \left|a_{n}-g\right|<\varepsilon \)

Nun haben wir in den Lösungen folgendes stehen:

$$\left| \frac { 11 }{ 2-n³ }  \right <\quad \frac {1 }{ 10000 } $$

Kommentar: für große n ist der Nenner negativ → Betraginneres ist < 0

$$\frac { 11 }{ n³-2 } <\quad \frac {1 }{ 10000 }$$ für alle n >= 2

Was ich nicht verstehe ist, warum der Nenner umgedreht wurde?

Answer 1

Betrag eines Bruchs = Betrag von Zähler / Betrag von Nenner

Hier

11 / | 2 - n^3| = 11 / |  -( n^3 -2)| = 11 / | n^3 - 2| 

Jetzt kann man unten die Betragstriche auch weglassen, wenn n ≥ 2 ist.

... = 11/ (n^3 -2)

Answer 2

Nun, das folgt aus der Definition des Betrages. Es gilt:

| x | = x , falls x ≥ 0
und
| x | = - x , falls x < 0

In deinem Beispiel ist das Betragsinnere negativ, also kommt der zweite Teil der Definition zur Anwendung und es gilt:

$$\left| \frac { 11 }{ 2-{ n }^{ 3 } }  \right| =\frac { -11 }{ 2-{ n }^{ 3 } } =\frac { 11 }{ -(2-{ n }^{ 3 }) } =\frac { 11 }{ { n }^{ 3 }-2 }$$