Aufgabe:
Bestimmen Sie die spezielle Lösung des Anfangswertproblems. Berechnen Sie mit diesen Lösungen die Funktionswerte an der Stelle 0.7
Problem/Ansatz:
Lösen Sie das Anfangswertproblem des DGL-Systems 1. Ordnung:
$$ y_{1}^{\prime}=4 y_{1}-10 y_{2}+95 \cdot \sin (5 x)-114 \cdot \cos (5 x) $$
\( y_{2}^{\prime}=-8 y_{1}+2 y_{2}-62 \cdot \sin (5 x)+50 \cdot \cos (5 x) \)
mit den Anfangswerten: \( y_{1}(0)=71, y_{2}(0)=-98 \)
a) Bestimmen Sie zuerst zwei (linear unabhängigen) Lösungen des homogenen DGL-Systems! Die Lösungs-Funktionen \( y_{h 1 / 2} \) haben dann die prinzipielle Form:
\( y_{h 1}(x)=C_{11} e^{a x}+C_{12} e^{b x} \) und \( y_{h 2}(x)=C_{21} e^{a x}+C_{22} e^{b x} \)
oder \( y_{h 1}(x)=e^{a x}\left(C_{11} \cos b x+C_{12} \sin b x\right) \) und \( y_{h 2}(x)=e^{a x}\left(C_{21} \cos b x+C_{22} \sin b x\right), \) mit \( C_{i j}, a, b \in R \)
Bestimmen Sie \( a \) und \( b \) für die Lösung!
a= - 6
b= 12
Bestimmen Sie die Koeffizienten \( C_{21} \) und \( C_{22} \), wenn \( C_{11}=1 \) und \( C_{12}=1 ! \)
\( C_{21}= 1\)
\( C_{22}= -0.8\)
Bestimmen Sie jetzt eine spezielle Lösungen des inhomogenen DGL-Systems mit einem geeigneten Lösungsansatz! Wie lauten die Koeffizienten A, B, C, D der Lösungsansätze:
\( y_{1, s p}(x)=A \sin 5 x+B \cos 5 x \)
\( y_{2, s p}(x)=C \sin 5 x+D \cos 5 x \)
\( A= -10 \)
\( B= 1 \)
\( C=6 \)
\( D=-6 \)
Bestimmen Sie jetzt die spezielle Lösung des Anfangswertproblems (Anfangswerte oben). Berechnen Sie mit
\( y_{1}(0.7)= ? \)
\( y_{2}(0.7)= ? \)
... und genau hier komme ich nicht mehr weiter. Die bisher gerechneten Versuche waren leider alle falsch. Könnt ihr einen Fehler bei mir entdecken?
