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Wie löse ich folgende aufgabe y=ex^4+2x^2

Wie stelle ich dies nach x um kann mir jemand helfen?

Ich habs mit dem ln nicht ganz geschafft.

von

Vom Duplikat:

Titel: Funktion Umkehrbar? Inverse Funktion

Stichworte: umkehrfunktion

Ich soll entscheiden, ob die Funktion y=ex^4+2x^2 umkehrbar ist. und die inverse Funktion angeben.

Kann mir die aufgabe bitte mit Lösungsmittelweg erklären? Ich weiß nicht wie ich sie lösen soll.

Hier  https://www.mathelounge.de/731044/wie-stelle-ich-die-funktion-nach-x-um

hat Oswald vorgerechnet, dass  y = e^(x^4 + 2·x^2)  für x∈ℝ nicht eindeutig nach x umgestellt werden kann. Man hat nur dann Umkehrfunktionen, wenn D ⊆ ℝ0+ oder  D ⊆ ℝ0-  gilt.

Ich habe allein von der Rechnung leider nicht viel verstanden. Die Erklärungen und Zwischenschritte von Tschakabumba sind immer hilfreich.

Letzterem kann ich nur zustimmen :-)

y = e^(x^4+2x^2 )
Umkehrfunktion
x = e^(y^4+2y^2 )

ln(x) = y^4 + 2y^2
ersetzen z = y^2
z^2 + 2z = ln(x)
quadratische Ergänzung
z^2 + 2z + 1 = ln(x) + 1
( z + 1 )^2 = ln(x) + 1
z + 1 = ± √ ( ln(x)+1 )
z = ± √ ( ln(x)+1 ) -1
zurückersetzen
y^2 = ...
y = ± √ [ ± √ ( ln(x)+1 ) -1 ]
Das negativ in der 2.Wurzel entfällt
y = ± √ ( √ ( ln(x)+1 ) -1 )
Es gibt 2 Funktionen
Die Umkehrfunktion ist also keine
Funktion mehr

2 Antworten

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Aloha :)

Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$x^4+2x^2\ge0\quad\Rightarrow\quad y=e^{x^4+2x^2}\ge1$$Bei der Bildung der Umkehrfunktion behalten wir daher \(y\ge1\) im Hinterkopf:

$$\left.y=e^{x^4+2x^2}\quad\right|\;\cdot e$$$$\left.ye=e^{x^4+2x^2+1}\quad\right|\;\text{1. binomische Formel im Exponenten anwenden}$$$$\left.ye=e^{(x^2+1)^2}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(ye)=(x^2+1)^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{\ln(ye)}=x^2+1\quad\right|\;-1$$$$\left.\sqrt{\ln(ye)}-1=x^2\quad\right|\;-1$$$$x=\pm\sqrt{\sqrt{\ln(ye)}-1}$$An dem \(\pm\) erkennst du, dass die Funktion nicht für alle \(x\) eindeutig umkehrbar ist. Entweder wählst du \(x\in\mathbb R^{\ge0}\) oder \(x\in\mathbb R^{\le0}\) als Definitionsmenge für die Ursprungsfunktion. Für die Umkehrfunktion musst du nur noch \(x\) und \(y\) vertauschen:$$y=\pm\sqrt{\sqrt{\ln(xe)}-1}$$

von 79 k 🚀

Ich hab noch eine Frage. Wieso haben Sie etwas anderes raus, als  Oswald?

Oswald hat nur einen kleinen Fehler bei einem \(\pm\) gemacht. Ansonsten haben wir beide (fast) dasselbe raus, denn: $$\ln(ye)=\ln y+\ln e=\ln y+1$$

+2 Daumen

ln(y) = x4 + 2x2

ln(y) + 1 = x4 + 2x2 + 1

ln(y) + 1 = (x2 + 1)2

±√(ln(y) + 1) = x2 + 1

-1 ±√(ln(y) + 1) = x2

x = ±√(-1 ±√(ln(y) + 1))

von 76 k 🚀

wieso haben sie im 2 schritt +1 addiert?

Das hat er gemacht, um im nächsten Schritt die binomische Formel anwenden zu können.

Ist im Prinzip die quadratische Erweiterung von (p/2)²

Ein anderes Problem?

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