Die HAMILTONschen Quaternionen \( \mathbb{H}=\{a+b i+c j+d k \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\} \), als Vektorraum isomorph zu \( \mathbb{x}^{4} \), bilden einen Ring mit 1 unter den Verknüpfungen
\( \begin{aligned} (a+b i+c j+d k)+\left(a^{\prime}+b^{\prime} i+c^{\prime} j+d^{\prime} k\right)=&\left(a+a^{\prime}\right)+\left(b+b^{\prime}\right) i+\left(c+c^{\prime}\right) j+\left(d+d^{\prime}\right) k, \\ (a+b i+c j+d k) \cdot\left(a^{\prime}+b^{\prime} i+c^{\prime} j+d^{\prime} k\right)=&\left(a a^{\prime}-b b^{\prime}-c c^{\prime}-d d^{\prime}\right)+\left(a b^{\prime}+b a^{\prime}+c d^{\prime}-d c^{\prime}\right) i \\ &+\left(a c^{\prime}-b d^{\prime}+c a^{\prime}+d b^{\prime}\right) j+\left(a d^{\prime}+b c^{\prime}-c t^{\prime}+d a^{\prime}\right) k . \end{aligned} \)
(1) Zeigen Sie, dass jedes \( z \in \mathbb{H} \backslash\{0\} \) ein multiplikativ Inverses \( z^{-1} \) besitzt.
(2) Ein klassischer Satz von LAGRANGE besagt, dass jede natürliche Zahl \( n \) sich als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen schreiben läfst, wie z.B. \( 14=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2} \). Erläutern Sie, wie sich der allgemeine Satz auf den Spezialfall \( n \in \mathbb{I}^{\text {zurückführen }} \) läkt.
Tipp. Das Konjugierte eines Quaternions \( z=a+b i+c j+d k \in \mathbb{H} \) ist \( \bar{z}=a-b i-c j-d k \). Berechnen Sie zunächst \( z \bar{z} \), und zeigen Sie anschließend \( \overline{w z}=\bar{z} \bar{w} \) für \( w, z \in \mathbb{H} \).
