Zeigen Sie, dass d eine Primzahl ist und dass n = d^2 gilt. Wie kommt man zur Lösung?

Question

Aufgabe:

Sei \( n \) eine natürliche Zahl, die genau einen natürlichen Teiler d mit d \( \neq 1, \) n besitzt. Zeigen Sie, dass d eine Primzahl ist und dass \( n=d^{2} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?

Answer 1

Jede natürlich Zahl >1 besitzt eine Primfaktorzerlegung.

Wenn darin mehrere verschiedene Primfaktoren vorkommen, gibt es

z.B. jeden dieser Primfaktoren als Teiler, und die sind alle

größer 1. Das kann also nicht sein.

Somit gibt es nur einen Primfaktor d , der aber ggf. mehrfach in

dieser Primfaktorzerlegung vorkommt.

Kommt er nur genau 1x vor, wäre n=d und hätte nur die

Teiler 1 und d . Aber "natürlicher" Teiler heißt ja wohl:

Es ist nicht die Zahl selbst.

# Wenn n=d^2 ist, gibt es die Teiler 1, d und d^2, also genau einen

natürlichen Teiler > 1.

Wäre d mehr als einmal in der Primfaktorzerlegung, dann wären

z.B. d und d^2 natürliche Teiler > 1, es gäbe also nicht nur

genau einen.

Somit ist # die einzige Möglichkeit.