Wie kann man dieses Anfangswertproblem verstehen?

Question

Hi,

kann mir vielleicht jemand helfen, die Lösung dieses Anfangswertproblems zu verstehen, welches mit Separation gelöst werden soll? 
$$y'(x)=\cos(x)e^{-y(x)}$$ mit \(y(0) = 1\)

In der Lösung wurde zuerst umgeformt mit 
$$\int e^{y}dy=\int \cos(x)dx$$ und dann weiter aufgelöst bis $$y(x)=\ln(\sin(x)+C)$$.

Das Auflösen kann ich gut nachvollziehen, aber wie kommt man auf den Teil mit dem Integral?

Mfg

Pizzaboss

Answer 1

Hallo

′()=()⁻⁽⁾,  y'=dy/dx

daraus  dy*e^y=cos(x) dx und das wird jetzt integriert, das ist das symbolische Vorgehen, wenn dich das behandeln von dy/dx wie einen Bruch stört

dann einfach y'*e^y=(e^y)' nach Kettenregel und cos(x)=(-sin(x)+C)'

dann hast du (e^y)'=(-sin(x)+C)'

das nennt man "Separation der Variablen"  man benutzt es immer wenn man Dgl der Form y'=f(y)*g(x) hat

Gruß lul

Comments

Hallo, tut mir leid, dass ich mich nochmal melde, aber könntest du vielleicht nochmal erklären, wieso man dy*e^y(x) zu dy*ey substituieren darf?

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Hallo

 formal hat man dy/dx*e^y=cos(x)

meist multipliziert man formal mit dx um  e^ydy=cos(x)dx zu schreiben  und dann auf beiden Seiten zu integrieren , aber du kannst auch einfach sehen, dass e^y*y' =(e^y(x))' ist  (nach der Kettenrege)l und deshalb  beide Seiten integrieren: (e^y(x))'=cos(x) das erklärt warum man so wie oben formal mit dx multiplizieren kann, wenn man das mal gemacht hat sieht man diese Art des formalen Vorgehens ein.

Gruß lul