Aloha :)$$f(x,y)=2e^{-x-y}\quad\text{für}\quad0<x<y<\infty$$
a) Eine Wahrscheinlichkeitsdichte muss auf \(1\) normiert sein. Wir prüfen das nach. Dazu können wir \(0<y<\infty\) zunächst frei wählen. Haben wir ein solches \(y\) gewählt, ist die Wahl für \(x\) durch \(0<x<y\) eingeschränkt. Das führt zu dem Integral:
$$\int\limits_0^\infty dy\int\limits_0^y dx f(x,y)=\int\limits_0^\infty dy\int\limits_0^y dx\,2e^{-x-y}=2\int\limits_0^\infty dy\,e^{-y}\int\limits_0^y dx\,e^{-x}$$$$=2\int\limits_0^\infty dy\,e^{-y}\left[-e^{-x}\right]_{x=0}^y=2\int\limits_0^\infty dy\,e^{-y}\left(-e^{-y}-(-e^0)\right)=2\int\limits_0^\infty dy\,e^{-y}\left(1-e^{-y}\right)$$$$=2\int\limits_0^\infty dy\,\left(e^{-y}-e^{-2y}\right)=2\left[-e^{-y}+\frac{1}{2}e^{-2y}\right]_0^\infty=2\left(0-(-e^0)+0-\frac{1}{2}e^0\right)$$$$=2\cdot\frac{1}{2}=1\quad\checkmark$$
b) Die beiden Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) sind nicht statistisch unabhängig, weil \(x\) in ihrem maximalen Wert durch \(Y\) nach oben begrenzt wird.
c) Wir bestimmen die Dichtefunktionen der Randverteilungen beider Komponenten:$$f_X(x)=\int\limits_0^\infty 2e^{-x-y}dy=\left[-2e^{-x-y}\right]_{y=0}^\infty=0-(-2e^{-x})=2e^{-x}$$$$f_Y(y)=\int\limits_0^y 2e^{-x-y}dx=\left[-2e^{-x-y}\right]_{x=0}^y=-2e^{-2y}+2e^{-y}=2e^{-y}(1-e^{-y})$$Auch hieran sieht man, dass \(X\) und \(Y\) nicht statistisch unabhängig sind, denn:$$f(x,y)=2e^{-x-y}\ne2e^{-x}\cdot2e^{-y}(1-e^{-y})=f_X(x)\cdot f_Y(y)$$
d) Die Verteilung von \(f_X(x)\) entspricht einer unnormierten Exponentialverteilung.
