Sind diese Funktionen stetig in 0?

Question

Gegeben seien die Funktionen f, g : R → R mit

f(x) = { sin (1 / x)  für  x ungleich 0    und    g(x) = {|x| · sin (1/x) für x ungleich 0

          { 0                        sonst                                { 0                    sonst

Sind diese Funktionen stetig in  0 ?

Answer 1

f ist bei 0 nicht stetig: denn in jeder Ungebung von

0 gibt es den  Funktionswert 1.

g ist stetig bei x = 0 ; denn sei eps > 0

dann wähle Delta (d)  = eps (e) und es gilt

für alle x mit   | x-0| < d  jedenfalls |x| < e

und wegen | sin(1/x)| ≤ 1 auch | g(x) | < e

also auch  | g(x) - g(0) | < e.

Answer 2

Hallo

f(x) ist in 0 unstetig, denn sin(1/x) nimmt bei x->0 beliebig oft Werte zwischen -1 und +1 an.

g(x) ist stetig, da der GW 0 ist, denn sin(1/x) ist beschränkt,  und |x| geht gegen 0

Das musst du aber mit eurer Definition von Stetigkeit genauer formulieren.

Dazu schreib die für dich erst hin und dann wende sie an.

Gruß lul

Answer 3

a.)
Der Def-Bereich der sin Funktion ist ℝ.
Die sin Funktion geht durch ( 0 | 0 )
Muß nun bei sin(1/x) x = 0 ausgeschlossen werden
ist der Def-Bereich nur noch ℝ \ 0

Wird nun eine geteilte Funktion definiert mit
1.) sin ( 1/x ) für x ≠ 0
und
2.) sin ( 1/x ) = 0 für x = 0
so ist 2.) identisch mit sin der Funktion 1.) im Punkt
( 0 | 0 )

Meiner Meinung nach ist a.) somit stetig.