arctan(x) als Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Zeige, dass der Arkustangens gegeben ist durch die Potenzreihe

arctan(x) = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

Hinweis: Identitätssatz für differenzierbare Funktionen

Problem/Ansatz:

Generell ist mir die Vorgehensweise klar - zuerst habe ich gezeigt, dass für x=0 beide Terme gleich sind

arctan(0) = 0 = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{0^{2n+1}}{2n+1}}$

Dann habe ich beide Terme abgeleitet.

Dabei komme ich auf

f'(x) = $\frac{1}{1+x^{2}}$   (Ableitung des arctan)

g'(x) = $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{2n+1}(2n+1)}$ = $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-x^2)^{n}}$

Theoretisch sollte man nun ja über die geometrische Reihenformel zeigen, dass die Gleichheit stimmt, da g'(x) = $\frac{1}{1-(-x^2)}$.

Nun gibt es aber ein Problem: g'(x) fängt bei n=1 zu summieren an, bei der geometrischen Reihe wird aber bei n=0 angefangen. Also trifft ja auch die Schreibweise $\frac{1}{1-(-x^2)}$ nicht mehr zu.

Hat jemand eine Idee, wie ich da weiter komme?

Liebe Grüße

Niklas

Comments

g'(x) fängt bei n=1 zu summieren an,

Wieso?

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Hat sich erledigt - bei einer Definition im Skript hieß es, dass die Ableitung einer Potenzreihe immer bei n=1 anfängt, da war der Exponent allerdings n und nicht 2n+1

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Musst du den Identitätssatz verwenden? Mit der Binomischen Reihe geht das auch ganz elegant.