0 Daumen
362 Aufrufe

Aufgabe:

Es sei $$a=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ Zeigen Sie:

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...=\frac{1}{4}a$$

$$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+...=\frac{3}{4}a$$

$$1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{11^2}+\frac{1}{13^2}+...=\frac{2}{3}a$$


Ansatz:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{\pi^2}{24}=\frac{1}{4}a$$

$$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+...=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}=\frac{3}{4}a$$

Problem:

Mit dem letzen teil habe ich Probleme die passende Reihe zu finden, über eine Idee würde ich mich sehr freuen :)

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo

 1. woher hast du denn die Formeln mit den pi^2/6 bzw. pi^2/24, die müsstest du ja zeigen. ausgehen kannst du nur  von a  als Summe über 1/n^2

dann: beachte 1/(2n)^2=1/4*1/n^2 damit der direkte Beweis.

dann:   dritte Reihe: erste Reihe - 2te Reihe:  3/4=1-1/4

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

dritte Reihe: erste Reihe - 2te Reihe:  3/4=1-1/4

Was meinst du damit?
Dritte Reihe ist 2/3.

Zu 1. das soll auch erstmal nur der Ansatz sein um mir klar zu machen wo ich hin will.

Hallo

 ich hatte als erste Reihe die mit 1/n^2. 2. 1/(2n)^2, dritte 1/(2n-1)^2

Gruß lul

0 Daumen

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community