Aloha :)$$f(x,y)=\frac{2}{1+x^2y^2}=2(1+x^2y^2)^{-1}$$a) Partielle Ableitungen:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=-2(1+x^2y^2)^{-2}2xy^2=-\frac{4xy^2}{(1+x^2y^2)^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=-2(1+x^2y^2)^{-2}2x^2y=-\frac{4x^2y}{(1+x^2y^2)^2}$$
b) Richtungsableitung in \(M=(1;1)\) in Richtung des Vektors \(\vec v=\binom{-1}{1}\)$$\partial_{\vec v}f(1,1)=\operatorname{grad}f(1,1)\cdot\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{2^2}\\-\frac{4}{2^2}\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{-1}{1}=\frac{1}{\sqrt2}(1-1)=0$$
c) Richtung des stärksten Anstiegs
Der Gradient zeigt in jedem Punkt \((x;y)\) in Richtung des stärksten Anstiegs:$$\operatorname{grad}f(x,y)=-\frac{4xy}{(1+x^2y^2)^2}\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}$$
d) Gleichung der Tangentialebene in \(P(-1;2)\)
$$t(x,y)=f(-1,2)+\operatorname{grad}f(-1,2)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{-1}{2}\right)$$$$\phantom{t(x,y)}=\frac{2}{5}+\frac{8}{25}\binom{2}{-1}\binom{x+1}{y-2}=\frac{2}{5}+\frac{8}{25}(2x+2-y+2)$$$$\phantom{t(x,y)}=\frac{2}{5}+\frac{32}{25}+\frac{8}{25}(2x-y)=\frac{42}{25}+\frac{16}{25}x-\frac{8}{25}y$$
