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Aufgabe:


(1) Es sei \( Q:=[0,1] \times[1,2] . \) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{\mathcal{Q}} \frac{x e^{2 x}}{y^{3}} d(x, y) \)


(2) Es sei \( \mathcal{Q}:=[1,2] \times[1,2] . \) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{\mathcal{Q}}\left(\frac{2 x}{y}-\frac{y}{x}\right) d(x, y) \)

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Aloha :)

$$I_1=\int\limits_0^1dx\int\limits_1^2dy\,\frac{xe^{2x}}{y^3}=\int\limits_0^1dx\,xe^{2x}\cdot\int\limits_1^2dy\,y^{-3}$$Das Integral über \(d(x,y)\) zerfällt in ein Produkt aus zwei Integralen. Das Integral über \(dy\) können wir sofort angeben:$$\int\limits_1^2y^{-3}dy=\left[\frac{y^{-2}}{-2}\right]_1^2=\left[-\frac{1}{2y^2}\right]_1^2=-\frac{1}{8}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$Das Integral über \(dx\) lösen wir mit partieller Integration:$$\int\limits_0^1\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{2x}}_{=v'}dx=\left[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{=v}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{=v}dx=\left[\frac{xe^{2x}}{2}\right]_0^1-\left[\frac{e^{2x}}{4}\right]_0^1$$$$\quad=\frac{e^2}{2}-0-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$$Zusammengefasst haben wir also gefunden:$$I_1=\frac{e^2+1}{4}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{32}(e^2+1)$$

Das zweite Integral ist einfacher, weil man die Teil-Integrale sofort hinschreiben kann:

$$I_2=\int\limits_1^2dx\int\limits_1^2dy\left(\frac{2x}{y}-\frac{y}{x}\right)=\int\limits_1^2dx\int\limits_1^2dy\frac{2x}{y}-\int\limits_1^2dx\int\limits_1^2dy\frac{y}{x}$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_1^22x\,dx\cdot\int\limits_1^2\frac{1}{y}\,dy-\int\limits_1^2\frac{1}{x}\,dx\cdot\int\limits_1^2y\,dy$$$$\phantom{I_2}=\left[x^2\right]_1^2\cdot\left[\ln|y|\right]_1^2-\left[\ln|x|\right]_1^2\cdot\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2$$$$\phantom{I_2}=\left(4-1\right)\cdot\left(\ln2-\ln1\right)-\left(\ln2-\ln1\right)\cdot\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)$$$$\phantom{I_2}=3\ln2-\frac{3}{2}\ln2=\frac{3}{2}\ln2$$

von 128 k 🚀
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$$\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\frac{x*e^{2x}}{y^3}dy dx =\int_{0}^{1} [\frac{-x*e^{2x}}{2y^2}]_{1}^{2} dx =\int_{0}^{1} \frac{3x*e^{2x}}{8} dx =[ \frac{(6x-3)*e^{2x}}{32} ]_0^1 =\frac{3*(e^{2}+1)}{32}$$

entsprechend bekomme ich bei dem zweiten  3ln(2) / 2.

von 271 k 🚀

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