Aufgabe:
\( \mathrm{H} 22 \) Drehung
Sei \( \delta: R^{3} \rightarrow R^{3} \) die Drehung des \( R^{3} \) mit Drehachse \( v=(-1,1,1)^{\top} \) und Drehwinkel \( \varphi=\frac{\pi}{3} \)
a) gesucht: Orthonomalbasis \( \omega: w_{1}, w_{2}, w_{3} \) mit \( L\left(w_{1}\right)=L(v) \)
b) Bestimmen sie \( E{\text {id }} w \) und w id \( E \) wobei\( E \) die Standardbasis des \( R^{3} \) bezeichnet
c) Bestimmen Sie WδW und EδE, wobei E die Standardbasis des R^3 bezeichnet.
d) Sei die Affinität α gegeben durch
$$ \alpha: R^{3} \rightarrow R^{3}: U \mapsto \delta^{6}(V)+t, \quad t \in R^{3} $$
Bestimmen Sie den Translationsanteil t so, dass gilt
$$ (\alpha \circ \alpha)\left((1,1,1)^{\top}\right)=(3,-3,5)^{\top} $$
Problem/Ansatz:
Zur a) w1 ist ja bekannt = (-1,1,1)
Für w2 habe ich ein beliebigen Vektor genommen und ein Skalarprodukt gemacht, was 0 sein muss. - 1*1+1*0+1*-1=0 =(1, 0,-1) - > dann normiert. =\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)(1,0,-1)
Für w3 dann das Kreuzprodukt bzw. Vektor Produkt gebildet. =\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)(-1,0,-1)
Hoffe, dass ist richtig. Damit muss weitergerechnet werden.
Zur b)
Habe gerade im Lehrbuch gelesen das folgendes gilt: WidE=W^-1 und EidW=W
Also W=
| -1 | \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
| \( \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
|
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | \( \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
| \( \frac{-1}{\sqrt{2}} \)
|
Und W^-1 =
| 0 | 1 | 0 |
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
| \sqrt{2}
| \( \frac{-\sqrt{2}}{2} \)
|
\( \frac{-\sqrt{2}}{2} \)
| 0 | \( \frac{-\sqrt{2}}{2} \)
|
Nochmal die Frage; Stimmt das?
Jetzt die eigentliche Frage
Zur c)
Wie geht das?
