Aufgabe:
Folgende Aufgabe:
Der Konvergenzradius der Potenzreihe $$A(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}$$ betrage mindestens 1. Weiterhin gilt für alle $$n\in \mathbb{N}$$
$$A_n=\sum \limits_{k=0}^{n}{a_k}$$
Nun soll ich zeigen, dass $$\frac{A_x}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}{A_n x_n}$$
für alle |x| < 1 gilt. x ist eine reelle Zahl.
Problem/Ansatz:
Laut Voraussetzung konvergiert die Reihe.
Ich bin dann wie folgt vorgegangen:
$$\frac{A_x}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}{A_n x_n}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left[ \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \right]x^n$$
$$A_x=(1-x) \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left[ \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \right]x^n$$
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}=(1-x) \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left[ \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \right]x^n$$
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{a_n}=(1-x) \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left[ \sum \limits_{k=0}^{n} a_k \right]$$
Wenn ich jetzt die einzelnen Reihenglieder vergleiche und zeige, dass es passt, müsste die Aussage doch bewiesen sein? Also so:
$$a_n=(1-x) \sum \limits_{k=0}^{n} a_k$$
Sollten meine Überlegungen richtig sein, komme ich jetzt aber nicht weiter. Es wäre schön, wenn sich das vielleicht einmal jemand ansehen könnte.
