Beweis Punkt Gerade Abstand

Question

ich bin bei der Herleitung (Beweis eher) einer Formel für den Abstand zwischen einer Gerade und einem Punkt im 3 dimensionalen.

Hierfür hab ich einen Vektor v zerlegt (also in eine v parallel und in v senkrecht).
Danach muss ich ja irgendwie v parallel anders beschreiben. Mir ist gesagt worden, dass das so sein muss:

\(\xrightarrow { v_\parallel  } = c\cdot \xrightarrow { u } \), wobei \(c=\frac { (\xrightarrow { v } \cdot \xrightarrow { u } ) }{ \left| \xrightarrow { u }  \right| ^{ 2 } }\).

Wie kann man auf die Formel für c kommen?

Gruß

Comments

Hoffe das war so gemeint?! Hab mal TeX-Klammern gesetzt :).

Answer 1

Nehmen wir an du hast die Punkte A, B und C die ein Dreieck bilden. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist mit dem Kreuzprodukt

Fläche = 1/2 * |AB x AC|

Die Fläche errechnet sich aber auch wie wir wissen über

Fläche = 1/2 * Grundseite mal Höhe.

Die Grundseite ist nun aber die Strecke AB und die Höhe der Abstand von C zur Geraden durch AB ...

Ahhhhhh. Also

1/2 * Grundseite mal Höhe = 1/2 * |AB x AC|

Höhe = |AB x AC| / Grundseite

Höhe = |AB x AC| / |AB|

Das ist die Kürzeste Herleitung für den Abstand die ich kenne.

Comments

Ist das ein Beweis?

Eigentlich bildet dieser Beweis doch ein Kreisargument bzw. die Beweisführung ist ein Zirkelschluss und daher ungültig. Was ist die Begründung für Fläche = 0,5 * |AB x AC|?

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|a x b| = |a| * |b| * sin(gamma)

Also 

1/2 * |AB x AC| = |AB| * |AC| * SIN(∠BAC)

Letzteres ist auch die Fläche eines Dreiecks.