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Moin Leute,

eine Frage zur Abstandsberechnung zwischen Ebene und Gerade.

Aufgabe: Welche Punkte der Geraden g haben zur Ebene E den Abstand \(6\cdot \sqrt{61}\) ?

Ich habe die Ebene in Hessesche Normalenform gebracht:

$$d=\left(\vec{x} - \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} 3\\-4\\6 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{\sqrt{61}}$$

Dort dann die Gerade g eingesetzt:

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6\\-9\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\3 \end{pmatrix}$$

Eingefügt ergibt es das:

$$6\cdot \sqrt{61}=\left( \begin{pmatrix} 6\\-9\\0 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3\\-4\\6 \end{pmatrix}$$

$$6\cdot \sqrt{61}= (18+36-36+6t-12t+18t)\cdot \frac{1}{\sqrt{61}}\\6\cdot 61 - 18 = 12t\\29 = t$$

Das Ergebnis habe ich auch nochmal überprüft und es stimmt.

Aber logischerweise muss es zwei Punkte auf g geben, die diesen Abstand haben.

Meine Idee war, dass man beide Seiten quadriert, da eigentlich auf der rechten Seite Betragsstriche sind. Da kam ich aber nur auf komische Ergebnisse.

Vielen Dank dafür, dass ihr eure freie Zeit hierfür verwendet.

Gruß

Smitty

von 5,0 k
Aber logischerweise muss es zwei Punkte auf g geben, die diesen Abstand haben.

Nur wenn die Gerade die Ebene schneidet. Und man kann den anderen Punkt doch einfach ableiten. Kann man nicht einfach das Vorzeichen drehen?

Der Abstand von -1 zum Ursprung ist im kartetischen Koordinantensystem gleich dem Abstand von 1.

Kann man nicht einfach das Vorzeichen drehen?

Das Vorzeichen von d ja aber nicht das Vorzeichen des Ortsvektors, denn die Ebene und die Gerade gehen nicht zwingend beide durch den Usprung.

Ich meine, dass man die x-, y- und z-Koordinante des Punktes einfach drehen kann.

Ich meine, dass man die x-, y- und z-Koordinate des Punktes einfach drehen kann.


Überzeugt mich gerade noch nicht.

Ausser du lässt d so stehen und änderst die andere Seite des Gleichheitszeichens.

Rechne das vielleicht einmal durch / zeichne.

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Die Hesse-Normalenform liefert dir immer eine Zahl,

deren Betrag der Abstand ist.

Du  musst also das Ganze auch noch mal mit

- 6 *√61  = .

rechnen. Dann bekommst du den 2. Punkt.

von 172 k

Achja, vielen Dank!

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