Maß (Volumen) einer Menge berechnen

Question

Aufgabe:

Betrachte folgende Menge \(S_3:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+y+z\leq 1\} \) und bestimme ihr Lebesgue-Maß. Hier noch eine Skizze zu dieser Menge im \(\mathbb{R}^3\):

Problem/Ansatz:

Zunächst will ich die Grenzen bestimmen:

\(x\leq 1-y-z\), also \(0\leq x \leq 1-y-z\)

\(y\leq 1-x-z\), also \(0\leq y \leq 1-x-z\)

und \(0\leq z \leq 1\).

Stimmt das soweit?

Jetzt integriere ich dreimal:

\(\begin{aligned} \lambda^3(S_3)&=\int\limits_{S_3}1\ d\lambda^3\\&=\int\limits_0^1\Bigg(\int\limits_0^{1-x-z}\Bigg(\int\limits_0^{1-y-z} 1\ dx\Bigg)dy\Bigg)dz \\&=\int\limits_0^1\Bigg(\int\limits_0^{1-x-z}\Bigg(1-y-z\Bigg)dy\Bigg)dz\\&=\int\limits_0^1\Bigg(\dfrac{\left(z-x-1\right)\left(z+x-1\right)}{2} \Bigg)dz\\&=-\dfrac{3x^2-1}{6} \end{aligned}\).

Es soll aber \(\lambda^3(S_3)=\frac{1}{6} \) rauskommen. Ich habe keine Ahnung, was ich falsch gemacht hab.

Answer 1

Hallo,

die Abhängigkeiten der Grenzen dürfen nicht beliebig sein, sondern müssen streng in einer Reihenfolge sein, zum Beispiel:

$$a \leq x \leq b, f(x) \leq y \leq g(x), p(x,y) \leq z \leq q(x,y)$$

Hier:

$$0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq z \leq 1-x-y$$

und daraus das Integral

$$\int_0^1 dx \int_0^{1-x} dy \int_0^{1-x-y}dz \cdot 1$$

Du kannst auch anders ansetzen Hauptsache, die Abhängigkeiten sind klar:

$$0 \leq z\leq 1, 0 \leq x \leq 1-z, 0 \leq y\leq 1-x-z$$

Gruß

Comments

die Abhängigkeiten der Grenzen dürfen nicht beliebig sein, sondern müssen streng in einer Reihenfolge sein

Das ist halt leider noch mein Problem. Zunächst erscheint mir deine beispielhafte Reihenfolge nicht nachvollziehbar, eben weil ich nicht verstehe, wie man die Integrationsgrenzen korrekt festlegt.

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Hallo,

ich versuche es noch einmal anders herum: Du suchst Dir eine Grundfläche, so dass der Körper über dieser Fläche liegt. Hier wäre das das Dreieck, sagen wir D, in der x-y-Ebene mit den Eckpunkten (0,0), (1,0),(0,1). Dann gilt:

$$(x,y,z) \in S \iff (x,y) \in D \text{ und } 0 \leq z \leq 1-x-y.$$

Demnach ist das Volumen:

$$\int_D d(x,y) \int_0^{1-x-y} dz \cdot 1$$

Jetzt muss man noch das Integral über D auflösen. Dazu wähl man (zum Beispiel) als Grundseite das Intervall [0,1] auf der x-Achse:

$$(x,y) \in D \iff x \in [0,1] \text{ und } 0 \leq y \leq 1-x.$$

Übrigens ist in der Aufgabe ein Fehler, es wird nicht festgelegt, dass \(x,y,z \geq 0\) ist. Das habe ich Deiner Skizze entnommen.

Gruß