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Aufgabe:

$$\text{ In dieser Aufgabe geht es um die L-periodische Fortsetzung der Funktion  }$$

$$f(x)=1-2\Theta(x-L/2) für x\in\left[0,L\right)$$

$$\text{ a) Skizzieren Sie diese Funktion für ein paar Perioden. }$$

$$\text{ b) Zeigen Sie, dass der Mittelwert } f_{0}\text{ dieser Funktion 0 ist. }$$

$$\text{ c) Bestimmen Sie die Fourier-Koeffizienten }c_{n}\text{ dieser Funktion. }$$

$$\text{ d) Geben Sie die Fourier-Koeffizienten  }a_{n}\text{ und }b_{n} $$

$$\text{ an und schreiben Sie die Reihe als Summe von Sinus und Cosinus Funktionen. }$$

$$\text{ e) Skizzieren Sie die ersten 2 Terme der Reihe }$$

Problem:

Mit diesem Thema habe ich leider allgemein meine Schwierigkeiten weshalb ich um Hilfe bei dieser Aufgabe sehr dankbar wäre.

Avatar von

wie ist Θ(x) denn definiert?

lul

$$\Theta(x)\text{ ist Definiert als die Theta-Funktion }\int_{x}^{-∞}dy δ(y)=\{\text{ 0 für } x<0 ;\text{ 1 für } x>0\}= \Theta(x)$$

Vom Duplikat:

Titel: Sägezahn- und Heaviside-Funktion

Stichworte: stetigkeit,mittelwert,reihen

hochhäuser.png

Θ ist in dieser Aufgabe die Heaviside-Funktion.

Diese bereitet mir allerdings so einige Schwierigkeiten.

Also meine Überlegungen sind Folgende:

a)

Eine Funktion mit der Periode L heißt dies: f(x) = f(x + L)

x geht ja von einschließlich 0 bis nicht einschließlich L.

Für x würde ich jetzt einfach zum Plotten eine Wertetabelle aufstellen.

Aber wie lasse ich das nicht einschließlich L mit einfließen?

b)

Der Mittelwert wird wie folgt berechnet:

f0 = \( \frac{1}{L} \) * \( \int\limits_{0}^{L} \) dx f(x)

Laut Wikipedia ist die Stammfunktion der Heaviside-Funktion = max { 0,x } + C, damit kann ich allerdings leider so gar nichts anfangen.

c)

cn.png

So kann ich Cbestimmen, allerdings stehe ich hier wieder vor dem Problem der mir nicht ganz verständlichen Stammfunktion der Heaviside-Funktion.

d)

anbn.png


Selbes Problem, das Werkzeug besitze ich, allerdings scheitert es erneut an meinem Verständnis der Stammfunktion der Heaviside-Funktion.

e)

Basiert auf d).

Bonuspunkt:

Da mir die restlichen Ergebnisse fehlen konnte ich noch keine Überlegungen dazu anstellen.



Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich wirklich sehr dankbar!

Hallo

 da ich das schon in einem anderen thread beantwortet habe, guck erstmal. ob dir das reicht.

https://www.mathelounge.de/739126/l-periodische-fortsetzung-einer-funktion-fourier-reihe#a739211

Gruß lul

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

 soweit ich sehe kannst du f(x) auch schreiben: f(x)=1 die 0<=x<L/2 und f(x)=-1 für L/2<=x<L und dann periodisch , d.h es ist eine ungerade Funktion du brauchst nur die Koeffizienten von  sin zu bestimmen. dass der Mittelwert 0 ist die orientierte Fläche d.Hh das Integral von 0 bis L von f(x)=0

jetzt nur diese einfache Funktion , in die Formeln für die Fourrierreihe einsetzen, Wo kann man da noch Schwierigkeiten haben?

 Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Danke das hat mir sehr geholfen :)

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