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Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion \( f \) mit
$$ f(x)=\frac{15-8 x+x^{2}}{10+7 x+x^{2}} $$
an der Stelle \( x_{0}=1 \)

 Kann mir hierzu jemand ebenso ein Lösungsweg zeigen ?

von

2 Antworten

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Aloha :)

Hier empfiehlt sich die Quotientenregel:

$$f'(x)=\left(\frac{\overbrace{15-8x+x^2}^{=u}}{\underbrace{10+7x+x^2}_{=v}}\right)'$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\overbrace{(-8+2x)}^{=u'}\overbrace{(10+7x+x^2)}^{=v}-\overbrace{(15-8x+x^2)}^{=u}\overbrace{(7+2x)}^{=v'}}{\underbrace{(10+7x+x^2)^2}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{(2x^3+6x^2-36x-80)-(2x^3-9x^2-26x+105)}{(10+7x+x^2)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{15x^2-10x-185}{(10+7x+x^2)^2}$$Speziell an der Stelle \(x=1\) lautet die Ableitung daher:$$f'(1)=\frac{15-10-185}{(10+7+1)^2}=\frac{-180}{18\cdot18}=\frac{-10}{18}=-\frac{5}{9}$$

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siehe Mathe-Formelbuch,Differentationsregeln,elementare Ableitungen

Quotientenregel (u/v)´=(u´*v-u*v´)/v²

f(x)=(15-8*x+x²)/(10+7*x+x²)

u=x²-8*x+15 abgeleitet u´=du/dx=2*x-8

v=x²+7*x+10 abgeleitet v´=dv/dx=2*x+7

f´(x)=(2*x-8)*(x²+7*x+10)-(x²-8*x+15)*(2*x+7))/(x²+7*x+10)²

ausmultiplizieren und zusammenfassen,schaffst du selber

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Differentationsrege.JPG

Text erkannt:

\( \frac{\text { Dif ferentationsrege } 1 \text { n / elementare Ableitungen }}{\text { Diese stehen } 1 \text { in Mathe-Formelbuch, was man privat in jedem Buchlade } n} \) bekommt. Potenzregel \( \left(x^{k}\right)^{\prime}=k^{*} x^{k-1} \) mit \( x \) ungleich NULL fur \( k \) o Summenregel Produktregel \( \quad\left(u^{*} v\right)^{\prime}=u^{\prime *} v+u^{*} v^{\prime} \)
\( \left(u^{*} v^{*} w\right)^{\prime}=u^{\prime *} v^{*} w+u^{*} v^{\prime} * w+u^{*} v^{*} w^{\prime} \)
Rettenregel f' \( (x)=z^{\prime} * f^{\prime}(z) \) -innere Ableitung \( * \) aubere Ableitu ng Quotientenregel \( (u / v)^{\prime}=\left(u^{\prime} * v-u^{*} v^{\prime}\right) / v^{2} \) mit \( v \) ungleich NULL spezie 11 \( (1 / v)^{\prime}=-1 * v^{\prime} / v^{2} \)
elementare Ableitungen \( \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} \)
\( \left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x}+1 n(a) \)
\( (\ln (x))^{\prime}=1 / x \)
\( \left(108 q^{(x)}\right)^{\prime}=1 /\left(x^{*} \ln (a)\right)=1 / x^{*} 108_{q} \)
(e) mit a ungleich \( 1 \quad x \geq 0 \)
\( (18(x))^{\prime}=1 / x * 1 g(e) \approx 0,4343 / x \)
\( (\sin (x))^{\prime}=\cos (x) \)
\( (\cos (x))^{\prime}=-\sin (x) \)
\( (\tan (x))^{\prime}=1 / \cos ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x) \) mit \( x \) ungleich \( (2 * k+1) * p i / 2 \quad k \varepsilon G \)

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