stetige Dichtefunktion konstante bestimmen

Question

Aufgabe:

Hinweis: Eigenschaften von Dichtefunktion:
1. \( f(x) \geq 0, x \in \mathbb{R} \)
2. \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \)

Bestimmung von \( a: \)

Prüfung der 2. Bedingung:

$$ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \quad=1 $$
Da die Dichtefunktion nur im Intervall [1,3] definiert, folgt:

$$ \Leftrightarrow \int \limits_{1}^{3} a x-0,5 d x \quad=1 $$
$$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{a}{2} x^{2}-0,\left.5 x\right|_{1} ^{3} \quad=1 \\ \Leftrightarrow \frac{a}{2} \cdot 3^{2}-0,5 \cdot 3-\left(\frac{a}{2} \cdot 1^{2}-0,5 \cdot 1\right)=1 \\ \Leftrightarrow 4 a-1 \quad=1 \\ \Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \end{array} $$
Die 1. Bedingung gilt offensichtlich für \( a=\frac{1}{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung kommt.

Meine Stammfunktion würde so aussehen = 1/2x^2 - 0,5x

Und wenn ich dementsprechend die ober und untergrenzen einsetze kommt bei mir 3a raus.

Danke wenn wir jemand helfen kann!

Answer 1

Die Stammfunktion von \( ax -\frac{1}{2} \) kann ja nicht \(  \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \) sein. Bei Dir kommt ja gar kein \( a \) mehr vor!

Comments

Ja aber wie soll ich den mit a rechnen? Ich habe keine ahnung wie ich da voran kommen soll

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Die Stammfunktion ist doch in der Lösung gegeben. $$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x  $$ Jetzt obere und untere Grenze einsetzten ergibt $$ 4a - 1 $$ und dass muss ja gleich \( 1 \) werden, da \( ax - \frac{1}{2} \) eine Dichte sein soll. Außerhalb von \( [1,3] \) ist die Dichte Null, daher die Intergrationsgenzen.

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Ich verstehe immer noch nicht wie man auf die 4 kommt ..

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a/2 * 3²  -  a/2 * 1²  =  4a

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Was setze ich für a ein das ich auf das Ergebnis komme?

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Was setze ich für a ein das ich auf das Ergebnis komme?

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Du löst die Gleichung \( 4a - 1 = 1\) nach \( a \) auf. Für \( a \) wird nichts eingesetzt sondern \( a \) wird ausgerechnet!

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Und wie rechne ich a aus?

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Ja wie wohl, \( 4a - 1 = 1 \)  nach \( a \) auflösen. Das ist doch eini leichte Gleichung.

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Wieso versteht mich keiner.. ich komme nicht auf diese 4a egal was ich versuche wie kommt man auf diese 4a, ich brauche einen lösungsweg

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$$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) = 4 a -1 $$

Das stand doch auch in der Lösung.

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Mach ich jetzt 2*9 - 0,5 * 3? Da komme ich aber auf 3

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Keine Ahnung was Du meinst. Wo steht da irgenwo  2*9????

Da steht $$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) =  \frac{9}{2}a - \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 4 a -1  $$ Das muss doch ausrechnenbar sein!

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Aber muss man 3/2 mit 1/2 nicht subtrahieren? Und wenn ich es addiere komme ich auf 4/2 da verstehe ich immer noch nicht wie man auf diese 4 kommt und der zweite term ergibt doch null oder? Also 1/2 - 0,5 * 1 = 0

Also sollte da eig 3/2 - 1/2 stehen und das wäre doch 2/2 = 1.

Ich verstehe irgendwie gar nichts mehr

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$$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) =  \frac{9}{2}a - \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = a \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right) = 4 a -1 $$

Jetzt klar?

Mal ne Frage, Du beschäftigst Dich mit Dichten und Stochastik, aber simple Arithmetik ist ein Problem? Hochschule oder Gymnasium?