0 Daumen
778 Aufrufe

Aufgabe:


Hinweis: Eigenschaften von Dichtefunktion:
1. \( f(x) \geq 0, x \in \mathbb{R} \)
2. \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1 \)

Bestimmung von \( a: \)

Prüfung der 2. Bedingung:

$$ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \quad=1 $$
Da die Dichtefunktion nur im Intervall [1,3] definiert, folgt:

$$ \Leftrightarrow \int \limits_{1}^{3} a x-0,5 d x \quad=1 $$
$$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{a}{2} x^{2}-0,\left.5 x\right|_{1} ^{3} \quad=1 \\ \Leftrightarrow \frac{a}{2} \cdot 3^{2}-0,5 \cdot 3-\left(\frac{a}{2} \cdot 1^{2}-0,5 \cdot 1\right)=1 \\ \Leftrightarrow 4 a-1 \quad=1 \\ \Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \end{array} $$
Die 1. Bedingung gilt offensichtlich für \( a=\frac{1}{2} \)



Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man auf diese Lösung kommt.

Meine Stammfunktion würde so aussehen = 1/2x^2 - 0,5x

Und wenn ich dementsprechend die ober und untergrenzen einsetze kommt bei mir 3a raus.

Danke wenn wir jemand helfen kann!

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Die Stammfunktion von \( ax -\frac{1}{2} \) kann ja nicht \(  \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \) sein. Bei Dir kommt ja gar kein \( a \) mehr vor!

Avatar von 39 k

Ja aber wie soll ich den mit a rechnen? Ich habe keine ahnung wie ich da voran kommen soll

Die Stammfunktion ist doch in der Lösung gegeben. $$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x  $$ Jetzt obere und untere Grenze einsetzten ergibt $$ 4a - 1 $$ und dass muss ja gleich \( 1 \) werden, da \( ax - \frac{1}{2} \) eine Dichte sein soll. Außerhalb von \( [1,3] \) ist die Dichte Null, daher die Intergrationsgenzen.

Ich verstehe immer noch nicht wie man auf die 4 kommt ..

a/2 * 32  -  a/2 * 12  =  4a

Was setze ich für a ein das ich auf das Ergebnis komme?

Was setze ich für a ein das ich auf das Ergebnis komme?

Du löst die Gleichung \( 4a - 1 = 1\) nach \( a \) auf. Für \( a \) wird nichts eingesetzt sondern \( a \) wird ausgerechnet!

Und wie rechne ich a aus?

Ja wie wohl, \( 4a - 1 = 1 \)  nach \( a \) auflösen. Das ist doch eini leichte Gleichung.

Wieso versteht mich keiner.. ich komme nicht auf diese 4a egal was ich versuche wie kommt man auf diese 4a, ich brauche einen lösungsweg

$$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) = 4 a -1 $$

Das stand doch auch in der Lösung.

Mach ich jetzt 2*9 - 0,5 * 3? Da komme ich aber auf 3

Keine Ahnung was Du meinst. Wo steht da irgenwo  2*9????

Da steht $$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) =  \frac{9}{2}a - \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 4 a -1  $$ Das muss doch ausrechnenbar sein!

Aber muss man 3/2 mit 1/2 nicht subtrahieren? Und wenn ich es addiere komme ich auf 4/2 da verstehe ich immer noch nicht wie man auf diese 4 kommt und der zweite term ergibt doch null oder? Also 1/2 - 0,5 * 1 = 0

Also sollte da eig 3/2 - 1/2 stehen und das wäre doch 2/2 = 1.

Ich verstehe irgendwie gar nichts mehr

$$ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \ \bigg|_1^3 = \frac{a}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \left( \frac{a}{2}  - \frac{1}{2} \right) =  \frac{9}{2}a - \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = a \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right) = 4 a -1 $$

Jetzt klar?

Mal ne Frage, Du beschäftigst Dich mit Dichten und Stochastik, aber simple Arithmetik ist ein Problem? Hochschule oder Gymnasium?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community