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Aufgabe: vollständige Induktion

gegeben:

a1 = 1

an+1 = (an/2) +1

a2 = (a1/2) + 1

mit n ≥ 1 konvergent und von oben mit 2 beschränkt

von

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Zeige, dass die Folge \(a_n\) monoton (steigend) und beschränkt (nach oben) ist. Beides geht hier durch Induktion. Somit kannst du dann die Konvergenz von \(a_n\) folgern.

Monotonie:

Induktionsanfang. Für \(n=1\) hat man \(a_2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\geq 1=a_1\).

Induktionsvoraussetzung. Angeommen, es gelte für ein beliebiges, aber festes, \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1} \), also \(a_n\leq a_{n+1}\quad (IV)\).

Induktionsschritt. Dann gilt diese Aussage auch für \(n+1\), also \(a_{n+1}\leq a_{n+2}\). Dies zeigt man so:

\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1 \stackrel{(IV)}{\leq} \frac{a_{n+1}}{2}+1=a_{n+2}\).

Damit gilt für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) die Eigenschaft \(a_n\leq a_{n+1}\).

Zeige nun durch Induktion, dass für alle  \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) die Eigenschaft \(0\leq a_n\leq 2\) gilt.

von 14 k

Danke sehr!

Ich habe demnächst meine Prüfung und würde mich sehr freuen, wenn du mir noch die Beschränktheit durch Induktion beweisen könntest? Das wäre sehr hilfreich, weil ich auch gar nicht weiß, wie ich dies zeigen könnte :-/

Probiere das doch erstmal selber. Wie weit kommst du im Induktionsbeweis? Schreibe es am besten auf.

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