Zeige, dass die Folge \(a_n\) monoton (steigend) und beschränkt (nach oben) ist. Beides geht hier durch Induktion. Somit kannst du dann die Konvergenz von \(a_n\) folgern.
Monotonie:
Induktionsanfang. Für \(n=1\) hat man \(a_2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\geq 1=a_1\).
Induktionsvoraussetzung. Angeommen, es gelte für ein beliebiges, aber festes, \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1} \), also \(a_n\leq a_{n+1}\quad (IV)\).
Induktionsschritt. Dann gilt diese Aussage auch für \(n+1\), also \(a_{n+1}\leq a_{n+2}\). Dies zeigt man so:
\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+1 \stackrel{(IV)}{\leq} \frac{a_{n+1}}{2}+1=a_{n+2}\).
Damit gilt für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) die Eigenschaft \(a_n\leq a_{n+1}\).
Zeige nun durch Induktion, dass für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\) die Eigenschaft \(0\leq a_n\leq 2\) gilt.
