Betrachten wir mal W2=⟨ : =v1⎝⎛1−13⎠⎞, : =v2⎝⎛111⎠⎞, : =v3⎝⎛−24−2⎠⎞⟩
Dann betrachtet man die Smith-Normalform
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form
der Matrix A=(v1 v2 v3): Es existieren reguläre Matrizen S, T s.d.
⎝⎛126⎠⎞=SAT
bzw.
S−1⎝⎛126⎠⎞=AT
In den Spalten von S−1 steht eine Basis (w1,w2,w3) von Z3. Da T regulär ist kann man es als Produkt von Elementarmatrizen schreiben, und die wirken nun von rechts auf A, d.h. als Spaltenperationen. Man kann die vi also so miteinander addieren und tauschen, dass 1w1,2w2,6w3 rauskommt. Am aufgespannten Modul ändert das aber nichts => W2=⟨w1,2w2,6w3⟩
Insgesamt:
W1Z3=⟨w1,2w2,6w3⟩⟨w1,w2,w3⟩=⟨w1⟩⊕⟨2w2⟩⊕⟨6w3⟩⟨w1⟩⊕⟨w2⟩⊕⟨w3⟩≅⟨w1⟩⟨w1⟩⊕⟨2w2⟩⟨w2⟩⊕⟨6w3⟩⟨w3⟩≅Z/1Z⊕Z/2Z⊕Z/6Z
Die Anzahl der Elementarteiler ist eindeutig, die Elementarteiler nur bis auf Assoziiertheit (folgt aus dem Elementarteilersatz für Matrizen), die Matrizen S und T sind nicht eindeutig, aber das ist egal.