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Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper und \( \left\{V_{i}\right\}_{i \in I} \) eine Familie von \( K \) -Vektorräumen.


Problem/Ansatz:

Wie gebe ich einen Isomorphismus an:
$$ \left(\bigoplus_{i \in I} V_{i}\right)^{*} \cong \prod \limits_{i \in I} V_{i}^{*} $$

von

Der Stern kennzeichnet den Dualraum oder?

Ja, du hast Recht!

und kannst du die Aufgabe lösen?

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Links steht der Dualraum der direkten Summe, die Elemente sind lineare Abbildungen

$$ f :\bigoplus_{i\in I} V_i \to K $$

Rechts steht das direkte Produkt der Dualräume, die Elemente sind Familien \( (f_i)_{i\in I} \), wobei \( f_i : V_i\to K\) lineare Abbildungen sind.

Der Isomorphismus muss dieses f jetzt irgendwie auf eine solche Familie schicken. Naheliegend wäre mit den natürlichen Inklusionen: $$ \iota_i : V_i \hookrightarrow \bigoplus_{i\in I} V_i $$

Die folgende Abbildung zu betrachten:

$$ f \mapsto ( \underbrace {f \circ \iota_i }_{V_i\to K})_{i\in I} $$

Dass das linear ist rechnet man einfach nach.

Die Bijektivität folgt dann aus der universellen Eigenschaft der direkten Summe:

Betrachte eine Familie $$ (g_i)_{i\in I} \in \prod_{i\in I} V_i $$ dann sind das lineare Abbildungen \( V_i \to K \). Die UE sagt nun es existiert  (=> Surjektivität, denn jedes Element hat ein Urbild) genau eine (=> Injektivität) lineare Abbildung

$$ g : \bigoplus_{i\in I} V_i \to K $$

s.d. \( g \circ \iota_i = g_i \) für alle \( i\in I\).

Hier kannst du die universelle Eigenschaft nochmals nachlesen:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Direct_sum_of_modules#Universal_property

von 1,3 k

Vielen Dank !

Und Falls ich dieses Antwort an der Prüfung schreibe, dann kriege ich die Punkte oder soll ich noch was dazu schreiben?

Sofern ihr das alles in der Vorlesung besprochen habt. Du solltest die Linearität aber schon noch begründen "rechnet man einfach nach" geht in einer Klausur natürlich nicht.

Ju, vielen vielen Dank!

ich habe noch eine Frage, niemand hat mir bei dieser Aufgabe geholfen, ich würde mich sehr freuen, wenn du mir auch da hilfst!

https://www.mathelounge.de/740303/seien-die-folgenden-untermodule-moduls-gegeben-zeige-dass

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