Komplexe Zahl z= √(3 - 3i) in Exponentialform umwandeln. Betrag?

Question

Aufgabe:

Wandeln Sie die komplexe Zahl z= Wurzel3 - 3i in Exponentialforrm um.

Zahl z= √(3 - 3i)

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht für den Betrag von z Wurzel 12, ich komme da aber nicht drauf.

Comments

@Lu:

Die Wurzel soll nur aus der ersten 3 gezogen werden.

Answer 1

$$z=\sqrt3-3i \Rightarrow |z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-3)^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}$$

Answer 2

Es gilt $z=\sqrt3-3i$ und damit für den Betrag $|z|=\sqrt{3+(-3)^2}=\sqrt{12}$

Comments

Am besten schnell löschen bevor es außer mir sonst noch jemand sieht.

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Zweite Möglichkeit:

$\sqrt[4]{2} \sqrt{3} e^{-(7 i \pi) / 8} \approx-1.9030-0.7882$

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Ja, da war ich zu voreilig. Danke für die Hinweise, LG

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Ich sprach übrigens von "löschen", nicht von "ergänzen".

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Darüber hast du keinerlei Verfügungsgewalt. Wenn du helfen möchtest, dann bitte konstruktiv und ohne deine destruktive Phrasendrescherei.

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Hallo Anton,

ich glaube, dass der Fragensteller $z= \sqrt 3 - 3i$ meint. Die Wurzel reicht nur über die  erste $3$ und vor dem $3i$ steht ein Minuszeichen.

Dann passt es auch mit $|z| = \sqrt{12}$.

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Achso, gut. Dann werde ich meine Antwort man überarbeiten.

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... dann fehlt ja nur noch die gewünschte Umwandlung in die in 'Exponentialform' ;-)

Answer 3

Hallo Marcel,

Wandeln Sie die komplexe Zahl $z= \sqrt 3 - 3i$ in Exponentialforrm um.

Man kann jede komplexe Zahl $z=a+bi$ schreiben als $$\begin{aligned} z &= r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi} \\ r &= |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\end{aligned}$$Hier ist $$|z| = \sqrt{(\sqrt 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt 3$$also ist$$\begin{aligned} z &= 2\sqrt 3 \left( \frac{\sqrt 3}{2 \sqrt 3} - \frac{3}{2 \sqrt 3} i\right) \\ &= 2\sqrt 3\left( \underbrace{\frac 12}_{= \cos \varphi} \underbrace {- \frac 12 \sqrt 3}_{= \sin \varphi} \, i\right) \end{aligned}$$Ist $\cos \varphi = 1/2$, dann kann $\varphi = \pi/3$ oder $\varphi = -\pi/3$ sein. Da aber $\sin \varphi \lt 0$ ist, bleibt nur noch $\varphi = -\pi/3$ übrig.

Jetzt bleibt noch zu klären, ob $\varphi$ im Bereich von $0 \le \varphi \lt 2\pi$ oder $-\pi \lt \varphi \le \pi$ angegeben werden soll. Im zweiten Fall hätte das $\varphi$ bereits den richtigen (Haupt-)Wert und im ersten Fall müsste $2\pi$ addiert werden und wird zu $\varphi = 5\pi/ 3$. Lassen wir es mal so stehen, dann ist unser $z$ in Exponentialform$$z = 2\sqrt 3\, e^{-\frac{\pi}3\, i}$$