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Aufgabe:

Wandeln Sie die komplexe Zahl z= Wurzel3 - 3i in Exponentialforrm um.

Zahl z= √(3 - 3i)

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht für den Betrag von z Wurzel 12, ich komme da aber nicht drauf.

von

@Lu:

Die Wurzel soll nur aus der ersten 3 gezogen werden.

3 Antworten

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$$ z=\sqrt3-3i \Rightarrow |z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-3)^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}$$

von 9,9 k
0 Daumen

Es gilt \(z=\sqrt3-3i\) und damit für den Betrag \(|z|=\sqrt{3+(-3)^2}=\sqrt{12}\)

von 19 k

Am besten schnell löschen bevor es außer mir sonst noch jemand sieht.

Zweite Möglichkeit:

\( \sqrt[4]{2} \sqrt{3} e^{-(7 i \pi) / 8} \approx-1.9030-0.7882 \)

Ja, da war ich zu voreilig. Danke für die Hinweise, LG

Ich sprach übrigens von "löschen", nicht von "ergänzen".

Darüber hast du keinerlei Verfügungsgewalt. Wenn du helfen möchtest, dann bitte konstruktiv und ohne deine destruktive Phrasendrescherei.

Hallo Anton,

ich glaube, dass der Fragensteller \(z= \sqrt 3 - 3i\) meint. Die Wurzel reicht nur über die  erste \(3\) und vor dem \(3i\) steht ein Minuszeichen.

Dann passt es auch mit \(|z| = \sqrt{12}\).

Achso, gut. Dann werde ich meine Antwort man überarbeiten.

... dann fehlt ja nur noch die gewünschte Umwandlung in die in 'Exponentialform' ;-)

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Hallo Marcel,

Wandeln Sie die komplexe Zahl \(z= \sqrt 3 - 3i\) in Exponentialforrm um.

Man kann jede komplexe Zahl \(z=a+bi\) schreiben als $$\eqalign{ z &= r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi} \\ r &= |z| = \sqrt{a^2 + b^2}}$$Hier ist $$|z| = \sqrt{(\sqrt 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt 3$$also ist$$\eqalign{ z &= 2\sqrt 3 \left( \frac{\sqrt 3}{2 \sqrt 3}  - \frac{3}{2 \sqrt 3} i\right) \\ &= 2\sqrt 3\left( \underbrace{\frac 12}_{= \cos \varphi} \underbrace {- \frac 12 \sqrt 3}_{= \sin \varphi} \, i\right) }$$Ist \(\cos \varphi = 1/2\), dann kann \(\varphi = \pi/3\) oder \(\varphi = -\pi/3\) sein. Da aber \(\sin \varphi \lt 0\) ist, bleibt nur noch \(\varphi = -\pi/3\) übrig.

Jetzt bleibt noch zu klären, ob \(\varphi\) im Bereich von \(0 \le \varphi \lt 2\pi\) oder \(-\pi \lt \varphi \le \pi\) angegeben werden soll. Im zweiten Fall hätte das \(\varphi\) bereits den richtigen (Haupt-)Wert und im ersten Fall müsste \(2\pi\) addiert werden und wird zu \(\varphi = 5\pi/ 3\). Lassen wir es mal so stehen, dann ist unser \(z\) in Exponentialform$$z = 2\sqrt 3\, e^{-\frac{\pi}3\, i}$$

von 26 k

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