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Aufgabe:

Explizite und rekursive Bildungsvorschrift für die Folge:

-7; -3; 2; 8; 15; 23; 32; ...


Problem/Ansatz:

Ich weiß die nächsten Glieder: 42, 53 usw. habe aber keine Ahnung, wie die rekursive und explizite Bildungsvorschrift lautet.

von

3 Antworten

+2 Daumen

Ich habe mir irgendwann mal in der 9 oder 10 Klasse folgendes hergeleitet

Dabei zählt x von 0 bis n

download (2).jpg

-7 -3 2 8 15 23 32
4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1

c = -7
a + b = 4
2a = 1

f(x) = 0,5x² + 3,5x - 7

von 342 k 🚀
0 Daumen

Die Differenz zweier benachbarter Glieder nimmt ständig um 1 zu. Das ist auch bei der bekannten Folge

1

1+2

1+2+3

1+2+3+4

... der Fall, welche die explizite Bildungsvorschrift n(n+1)/2 hat. Das können wir aber nicht 1 zu 1 übertragen, weil unsere Folge als erste Differenz den Wert 4 (der Abstand zwischen -7 und -3 ist 4) hat.

Nun gilt

-7=-13+(1+2+3) =-13 + 3*4/2

-3=-13+(1+2+3+4)= -13 + 4*5/2

2=-13+(1+2+3+4+5)= -13+ 5*6/2

Verallgemeinere das, und du hast die explizite BV.


Für die rekursive BV kannst du a1 und a2 angeben. Überlege dir dann, wie man z.B. a3 bekommt, wenn man a2 hat und die Differenz (a2-a1) kennt.

von 17 k

Danke, du hast mir sehr geholfen.

0 Daumen

rekursiv: an=an-1+n+3

explizit: Die zweite Differenzenfolge ist konstant. Daher Ansatz: a(n)=a·n2+b·n+c.

Ergebnis: a(n)=1/2·n2+5/2·n-10

von 82 k 🚀

Das ist aber nicht wirklich rekursiv, weil man mit deiner Formel AUCH das n (explizit) verwenden muss.

Wie lautet also dein Vorschlag?

Mit 2 Startwerten:

a1=-7

a2=-3

an=an-1+(an-1-an-2)+1

Mit nur einem Startwert:

a1=-7

an+1=an + 0,5 + \( \sqrt{26,25+2a_n} \)

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