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Aufgabe:

Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von f(x). Untersuchen Sie, ob f(x) eine relatives Extremum besitzt.

f(x) = x · ln (x)


Problem/Ansatz:

Ich habe \( f^{\prime}(x)=x * \frac{1}{x} * 1 \)

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Aloha :)

Die Ableitung funktioniert mit der Produktregel wie folgt:$$f'(x)=\left[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}\right]'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'}=\ln x+1$$Bei einem relativen Extremum muss die erste Ableitung veschwinden:$$\left.1+\ln x\stackrel{!}{=}0\quad\right|\quad-1$$$$\left.\ln x=-1\quad\right|\quad e^\cdots$$$$\left.x=e^{-1}=\frac{1}{e}\quad\right.$$Wir haben also einen Kandidaten für ein Extremum bei \(x=\frac{1}{e}\) gefunden. Zur Prüfung, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, benötigen wir die zweite Ableitung:$$f''(x)=\left[\ln x+1\right]'=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad f''\left(\frac{1}{e}\right)=e>0\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$Wegen \(f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}\) hat die Funktion ein Minimum bei \(\left(\frac{1}{e}\,;\,-\frac{1}{e}\right)\).

~plot~ x*ln(x) ; {1/e|-1/e} ; [[0|2|-0,5|2]] ~plot~

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f ( x ) = x * ln ( x )
Produktregel ( u´ * v + u * v´ )
f ´( x ) = 1 * ln ( x ) + x * 1/x
f ´( x ) = ln(x) + 1

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2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 1/x

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