Matrix von cos und sin berechnen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Matrix M_α =

cos(α ) sin(α)
-sin(α) cos(α)    ∈ M(2 x 2, ℝ) mit Parameter α ∈ℝ. Davon ausgehend
werde die Funktion
f : ℝ²→ ℝ²,   x↦M_α • x,

definiert. Untersuchen Sie die Abbildung f auf Injektivitat, Surjektivitat und Bijektivitat.

Gegeben sei die Gerade G =

{(2, 3)^T +λ (-1, 2)^T | λ ∈ℝ }
    
1)Bestimmen Sie f(G), also das Bild von G unter f.
Was stellt f(G) geometrisch dar?
2) Es sei r der Richtungsvektor einer Geraden durch (0, 0)^T . Bestimmen Sie den Winkel zwischen r und f(r).
Wie lasst sich die Abbildung f geometrisch interpretieren.
3) Geben Sie ein Beispiel fur eine Matrix, deren Kern nicht {0} ist. Beweisen Sie.

Problem/Ansatz:

Ist jemand so lieb und kann helfen: Wie löst man diese Aufgabe?! :)

Answer 1

Es ist det(M_α) = 1 , also Abbildung bijektiv.

1)  f(G) = { ( 2cos(α )+3sin(α) ; 3cos(α )-2sin(α))^T
                 + λ*(-cos(α )+2sin(α);2cos(α )+sin(α) )^T | λ ∈ℝ }

also ist das Bild wieder eine Gerade.

2)  r =( a;b)^T

f(r) = ( a*cos(α )+b*sin(α); b*cos(α )-a*sin(α) )^T

Skalarprodukt r*f(r)

= (a^2 + b^2) * cos(α) .

Und mit der bekannten Formel :

Skalarprodukt von u und v

= Länge von u * Länge von v * cos(Winkel zwischen u und v)

sieht man:  α ist der Winkel zwischen r und f(r) .

3)   M =

       1   1
       1   1

.

Comments

kann man die Aufgabe1) ohne Determinante rechnen/lösen?