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Hallihallo,

ich habe mal eine wichtige Frage zu einer Aufgabe bei der ich wirklich nicht weiterkomme.

Zur Lösung habe in unsererm Skript diese Formel gefunden, anhand derer wir Spiegelungsmatrizen aufstellen sollen:
$$S:=I_{n}-\frac{2}{<a,a>}aa^{T}$$
"Die Abbildung x-->S_ ax heißt Spiegelung. Führt man die zu a orthogonale Hyperebene $$H_{a}:={\{x \in R^{n}; <a,x>=0}\}$$
ein, so ist R^n-->R^n, x-->S_ ax die Spiegelung an der Hyperebene H_a"

Mein Problem ist, dass ich das ganze nicht anwenden kann. Ich habe überhaupt keine Ahnung, was ich hier machen muss. Ich soll folgende Matrizen aufstellen:

-->die Spiegelung an der Ebene E:n^{T}x= 0 für ein n∈R^3 mit ‖n‖= 1

-->die Projektion auf die Ebene E:n^{T}x= 0 für ein n∈R^3mit ‖n‖= 1

Weiß vielleicht jemand wie die Formel zu verstehen ist und wie man damit die zugehörigen Matrizen aufstellen kann? Ich habe leider kein Bespiel in unserem Skript gefunden:(

Es wäre super lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

von

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a) Wenn du z.B für wählst $$\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

dann ist die Ebene ja die mit der Gleichung 1/√3 * (x+y+z) = 0

oder eben einfach nur  x+y+z=0.

Und die Formel $$S:=I_{n}-\frac{2}{<a,a>}aa^{T}$$

ergibt ja ( Das a ist das n. ) :

$$S=I_{3}-\frac{2}{<n,n>}nn^{T}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}-\frac{2}{<n,n>}nn^{T}$$

$$=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}-\frac{2}{1}*\frac{1}{3}*\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$$

$$=\frac{1}{3}*\begin{pmatrix} 1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1 \end{pmatrix}$$

Wenn du nun mit dieser Matrix mal eine Probe machst, etwa mit dem Punkt

P(1;0;0), dann hast du

Ortsvektor von P' = S*Ortsvektor von P =  S*(1;0;0)^T = (1/3;-2/3;-2/3)^T

Und jetzt kannst du prüfen: Die Mitte von P und P' liegt in der Ebene

und der Verbindungsvektor von P nach P' steht auf ihr senkrecht. Also ist

P wirklich an der Ebene gespiegelt worden.

Und allgemein machst du das einfach mit einem n = (nx;ny;nz).

von 270 k 🚀

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