Wie ist diese Formel zu verstehen (Spiegelungsmatrizen)?

Question

Hallihallo,

ich habe mal eine wichtige Frage zu einer Aufgabe bei der ich wirklich nicht weiterkomme.

Zur Lösung habe in unsererm Skript diese Formel gefunden, anhand derer wir Spiegelungsmatrizen aufstellen sollen:
$$S:=I_{n}-\frac{2}{<a,a>}aa^{T}$$
"Die Abbildung x-->S_ ax heißt Spiegelung. Führt man die zu a orthogonale Hyperebene $$H_{a}:={\{x \in R^{n}; <a,x>=0}\}$$
ein, so ist R^n-->R^n, x-->S_ ax die Spiegelung an der Hyperebene H_a"

Mein Problem ist, dass ich das ganze nicht anwenden kann. Ich habe überhaupt keine Ahnung, was ich hier machen muss. Ich soll folgende Matrizen aufstellen:

-->die Spiegelung an der Ebene E:n^{T}x= 0 für ein n∈R^3 mit ‖n‖= 1

-->die Projektion auf die Ebene E:n^{T}x= 0 für ein n∈R^3mit ‖n‖= 1

Weiß vielleicht jemand wie die Formel zu verstehen ist und wie man damit die zugehörigen Matrizen aufstellen kann? Ich habe leider kein Bespiel in unserem Skript gefunden:(

Es wäre super lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

a) Wenn du z.B für wählst $$\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

dann ist die Ebene ja die mit der Gleichung 1/√3 * (x+y+z) = 0

oder eben einfach nur  x+y+z=0.

Und die Formel $$S:=I_{n}-\frac{2}{<a,a>}aa^{T}$$

ergibt ja ( Das a ist das n. ) :

$$S=I_{3}-\frac{2}{<n,n>}nn^{T}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}-\frac{2}{<n,n>}nn^{T}$$

$$=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}-\frac{2}{1}*\frac{1}{3}*\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$$

$$=\frac{1}{3}*\begin{pmatrix} 1&-2&-2\\-2&1&-2\\-2&-2&1 \end{pmatrix}$$

Wenn du nun mit dieser Matrix mal eine Probe machst, etwa mit dem Punkt

P(1;0;0), dann hast du

Ortsvektor von P' = S*Ortsvektor von P =  S*(1;0;0)^T = (1/3;-2/3;-2/3)^T

Und jetzt kannst du prüfen: Die Mitte von P und P' liegt in der Ebene

und der Verbindungsvektor von P nach P' steht auf ihr senkrecht. Also ist

P wirklich an der Ebene gespiegelt worden.

Und allgemein machst du das einfach mit einem n = (n_x;n_y;n_z).