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Hi, kann mir bitte jemand bei diesem AWP helfen? Ich bin schon am verzweifeln und habe schon fast alles mögliche probiert, Separation oder eine Matrixdarstellung aber es geht einfach nicht....

\( y^{\prime}=y / x+x^{2} / y^{2}, \quad y(1)=1 \)

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Hallo,

hier ein Link dazu:

https://mathepedia.de/Aehnlichkeitsdifferentialgleichungen.html

Substituiere:

z= y/x

y=z *x

y' =z +z'x

setze das in die DGL ein:

z +z'x = z +1/z^2 | -z

z'x = 1/z^2

dz/dx *x = 1/z^2

z ^2 dz = dx/x -> Trennung d. Variablen

z^3/3 = ln|x| +c ->nach z umstellen und rücksubstituieren z=y/x

Lösung: y= x (3 ln|x| +C)^(1/3)

AWA einsetzen: y(1)=1

1= 1 (3 ln|1| +C)^(1/3)

C=1

-Lösung:

y= x (3 ln|x| +1)^(1/3)

von 117 k 🚀

Hallo, danke für deine Antwort:

Wie kommtst du auf y=z *x => y' =z +z'x

Es ist z=z(x) und y= y(x) jeweils eine Funktion von x ->Produktregel

Okay, vielen Dank.

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Das ist eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung. Substituiere u= y/x


Dann erhältst du:

$$u'=\frac{y'x-y}{x^2} \Longrightarrow y'=u+u'x$$

In die DGL eingesetzt ergibt dies:

$$u+u'x=u+\frac{1}{u^2}$$


Das kannst Du normal lösen und erhältst nach Rücksubstitution:

$$y=x\cdot\sqrt[3]{3ln|x|+c}$$

von 3,2 k

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