Zeigen sie, dass an monoton wachsend und nach oben beschränkt ist

Question

Aufgabe: Zeigen sie, dass an monoton wachsend und nach oben beschränkt ist

Problem/Ansatz:

Was mache ich hier falsch?

Comments

Das ist nicht \(a_0\), sondern bereits \(a_1\).

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Warum das denn?

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Warum zeigst du, dass einmal \(0\leq a_n\leq 3\) und einmal \(a_n<3\) gilt?

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Warum das denn?

\(a_0\) ist gegeben.

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a(n+1) = √((5 + 3·a(n))/2) > a(n)

Ich schreibe mal x statt a(n)

Zunächst mal sollte man feststellen das x offensichtlich nur positive Werte annehmen kann, weil sowohl der Anfangswert als auch die Wurzel ja positiv sind.

√((5 + 3·x)/2) > x
(5 + 3·x)/2 > x^2
5 + 3·x > 2·x^2
2·x^2 - 3·x - 5 < 0 --> x < 5/2 = 2.5

Hiermit ist gezeigt das solange an < 2.5 ist, an+1 immer größer als an ist.

√((5 + 3·x)/2) < 2.5
(5 + 3·x)/2 < 6.25
5 + 3·x < 12.5
3·x < 7.5
x < 2.5

Hiermit ist jetzt auch gezeigt das solange an < 2.5 ist, auch an+1 immer kleiner als 2.5 ist.

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Zeige Monotonie per Induktion: \(a_{n+1}^2-a_n^2=\tfrac32\left(a_n-a_{n-1}\right)\).

Answer 1

(1) Zeige \( a_n \le \frac{5}{2} \) Der Induktionsanfang ist klar. Also muss nur noch $$  \sqrt{ \frac{5 + 3 a_n}{2}  } \le \frac{5}{2} $$ gezeigt werden. $$ \frac{5 + 3 a_n}{2} \le \frac{ 5 + 3 \cdot \frac{5}{2}}{2} = \frac{25}{4} $$ Das ist die Beschränktheit

(2) Weil $$ \sqrt{ \frac{5+3 a_n}{2} } \ge a_n $$ äquivalent mit $$ 2 a_n^2 - 3 a_n - 5 = (a_n + 1) (2 a_n - 5) \le 0 $$ gilt \( a_n \le \frac{5}{2} \)

(3) Aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz. Also muss für den Grenzwert \( \lim_{n\to\infty} a_n = a \) gelten $$ a = \sqrt{ \frac{5 + 3 a}{2} }  $$ also $$  (a+1)(2a-5)=0 $$ Und das ergibt den Grenzwert \( a = \frac{5}{2} \)