Menge von komplexen Zahlen z bestimmen für die Betragsungleichung |z-3-4i| <= 5

Question

Aufgabe:

Skizze der Menge alles komplexen Zahlen z angeben, so dass |z-3-4i| <= 5 erfüllt ist.

Ansatz:

mit z = a + bi

$$|z - 3 - 4i| \leq 5 \Leftrightarrow |a+bi-3-4i| \leq 5 \Leftrightarrow |a-3+bi-4i| \leq 5 \Leftrightarrow \sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2} \leq 5 \Leftrightarrow (a-3)^2+(b-4)^2 \leq 25 \Leftrightarrow (a^2-6a+9) + (b^2-8b+16) \leq 25 \Leftrightarrow a^2 - 6a + b^2 - 8b \leq 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \leq 6a + 8b$$

Problem:

Ich sehe zwar durchaus, dass ich jetzt für a und b bestimmte Werte festlegen kann und dann direkt für a oder b ein bestimmter Wert folgen muss, jedoch ist mir unklar, wie ich hier eine konsistente Menge für z aufstellen kann bzw. wie ich alle Werte für a und b systematisch bestimmen kann.

Davon auszugehen, dass $$a^2 \leq 6a \land b^2 \leq 8b$$ zugleich erfüllt sein müssen ist wohl etwas zu einfach, weil ich dann gemische Zahlenpaare nicht betrachte.

Gibt es hier einen geschickteren Ansatz die Aufgabe anzugehen oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Comments

Du bist an der Stelle

(a-3)²+(b-4)²<=25

fertig. Das ist eine Kreisgleichung.

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Ah ok meinst du dann, dass die Skizze ein Kreis mit Radius von 25 sein wäre und ich dann Werte aus dem Kreis rausnehmen und für a - 3 und für b - 4 reche um auf Werte für z zu schließen?

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Der Radius steht auf der rechten Seite der Gleichung im Quadrat.

(a-3)²+(b-4)²<=5²

Die Gleichung bedeutet, der Mittelpunkt des Kreises liegt in (3,4) und der Radius lautet 5.

Aufgrund des kleiner-gleich Zeichens gehört die gesamte Kreisfläche zur Menge.

Answer 1

| z - 3 - 4i | ≤ 5
| z - (3 + 4i) | ≤ 5

Ist das nicht die Menge aller Komplexer Zahlen die von der Zahl 3 + 4i höchstens 5 LE entfernt liegen? Das ist ein Kreis oder nicht?

Comments

Im unteren Betrag fehlt ein Minuszeichen.

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Ja habe ich auch so in etwa mir überlegt gehabt. Müsste dann aber nicht gehlten, dass

mit w = 3 + 4i dann also |z - w| = |z| - |w| >= 5 sein muss, damit z sozusagen genau 5 LE größer als w sein muss? So eine Regel hab ich leider nicht gefunden und hab es dann auch mit einfachen Zahlenbeispielen nachgerechnet. Wenn der Winkel für z und w gleich sind würde es ja stimmen, aber für unterschiedliche Winkel scheinbar nicht.

Hatte hier überlegt z.B. mit |6 + 4i - 1 - i| = |5 + 3i| = 5.83

und |6 + 4i| - |i + i| = 5.79.

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|z - w| = |z| - |w|

Nein. Das kannst du recht schnell feststellen wenn du w = -z setzt. probier das mal und zeige das es nicht gilt. Das kannst du an einem Ganz konkreten Beispiel zeigen.

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Im unteren Betrag fehlt ein Minuszeichen.

Danke für die Korrektur. Ist inzwischen verbessert worden.

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ok das macht soweit Sinn. Aber das wäre dann für mich ein Widerspruch dazu, dass z genau 5 LE länger sein muss als w, also z einen Radius von 10 bildet. Oder hattest du das anders gemeint?

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|z - w| Ist der Abstand zweier komplexer Zahlen in der Zahlenebene.

|z| - |w| ist die Differenz der Abstände der komplexen Zahlen vom Ursprung.

Das bedeutet

Liegen zwei komplexe Zahlen auf einem Kreis um den Ursprung ist die Differenz ihren Abstände zum Ursprung sicher Null.

Das muss aber ja nicht bedeutet das der Abstand der komplexen Zahlen zueinander dann auch immer Null ist.

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achso verstehe! meintest du dann, dass ich sozusagne vom Punkt w = 3 + 4i einen Kreis im Radius von 5 LE zeichne?

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ok das macht soweit Sinn. Aber das wäre dann für mich ein Widerspruch dazu, dass z genau 5 LE länger sein muss als w, also z einen Radius von 10 bildet. Oder hattest du das anders gemeint?

|z - w| ist der Abstand der Komplexen Zahlen z und w voneinander. Es ist dabei egal welchen Radius w selber zum Ursprung hat.

| z - w | ≤ 5

z liegt dabei auf oder innerhalb eines Kreises mit einem Radius 5 vom Punkt w entfernt.

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achso verstehe! meintest du dann, dass ich sozusagne vom Punkt w = 3 + 4i einen Kreis im Radius von 5 LE zeichne?

Genau so.

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super danke!