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Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum.

die Metrik d als Abbildung

(X×X,dx  ) → (R, I · I )

(x,y) ↦ d(x,y)

dx ((x,y),(x´,y´)) := d(x,x´) + d(y,y´)                          (x,y), (x´,y´) ∈ X×X

Zeige , dass stetig ist , wobei I·I den Absolutbetrag bezeichnet. ?


Vielen Dank

vor von

1 Antwort

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Hallo,

Du brauchst so etwas wie eine "Vierecksungleichung":

$$|d(x,y)-d(x',y')| \leq d(x,x')+d(y,y')$$

Der Beweis geht etwa so wie der der umgekehrten Dreiecksungleichung (siehe WEB):

$$d(x,y) \leq d(x,x')+d(x',y) \leq d(x,x')+d(x',y')+d(y',y)$$

Also:

$$d(x,y)-d(x',y') \leq d(x,x')+d(y,y')$$

Diese Ungleichung gilt auch, wenn man x durch x' und y duchr y' ersetzt. Zusammen ist das die oben angegebene Ungleichung mit den Beträgen.

Gruß MathePeter

vor von

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